Bestimmung der Nullstellen eines Polynoms dritten Grades mit Parameter?

Question

$$p(x) = x^3-3x+\lambda$$ Ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe in der ich berechnen möchte, für welches Lambda dieses Polynom komplett in Linearfaktoren zerfällt

Answer 1

Schaut man sich den nicht verschobenen Graphen (\(\lambda=0\), rot) an, so stellt man fest, dass dieser punktsymmetrisch zum Ursprung ist (nur ungerade Exponenten im Funktionsterm) und 3 Nullstellen hat. Das Polynom zerfällt also in Linearfaktoren (mit reellen Nullstellen). Verschiebt man nun den Graphen um bis zu zwei Einheiten nach unten oder oben (\(-2\leq \lambda \leq 2\)), sieht man, dass der Graph außer für die Grenzwerte -2 und 2 immer noch stets 3 Nullstellen besitzt und damit in Linearfaktoren zerfällt. Für die Grenzwerte -2 und 2 liegt jeweils ein Extrempunkt auf der \(x\)-Achse und es liegt eine doppelte Nullstelle vor. Die Summe der Vielfachheiten der Nullstellen entspricht in diesem Fall ebenfalls dem Grad 3 des Polynoms, so dass dieses insgesamt für \(-2\leq \lambda \leq 2\) vollständig in Linearfaktoren zerfällt.

An die Grenzen kommt man rechnerisch, indem man die Extrempunkte für den Fall \(\lambda=0\) berechnet, da der Parameter hier nur eine Verschiebung in \(y\)-Richtung zur Folge hat. Daher hilft hier auch die Erkenntnis der Punktsymmetrie zum Ursprung.

https://www.desmos.com/calculator/hydcm7ilgp

Answer 2

Ich gehe mal von \(\lambda\in R\) aus, und dass Du meinst "in \(\R\) in Linearfaktoren zerfällt".

Mit einer kleinen Kurvendiskussion kannst Du Dir überlegen, dass in \(-1\) ein Maximum vorliegt und in \(1\) ein Minimum. Der Graph muss dann, abhängig von \(\lambda\) so in y-Richtung verschoben werden, dass \(f(-1)\ge 0\) und \(f(1)\le 0\) ist. Ausrechnen führt auf \(\lambda \in [-2,2]\).

Answer 3

Wenn Du willst, dass alle Linearfaktoren reell sind, musst Du die Diskriminante ausrechnen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Kubische_Gleichung#Analytische_Bestimmung_der_reellen_L.C3.B6sungen_der_reellen_Gleichung

Answer 4

\(p(x) = x^3-3x+λ\)  Ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe in der ich berechnen möchte, für welches Lambda dieses Polynom komplett in Linearfaktoren zerfällt

\(p'(x) = 3x^2-3\)

\(3x^2-3=0\)

\(x_1=1\)     \(p(1) = 1^3-3+λ=0\)    \(λ=2\)     \(p(x) = x^3-3x+2=(x-1)(x-1)((x+2)\)

Die Zeile ist verbessert:

\(x_2=-1\)    \(p(-1) = (-1)^3+3+λ=0\)    \(λ=-2\)   \(p(x) = x^3-3x-2\\=(x+1)(x+1)(x-2)\)  .

Comments

für λ = 0 ist die Linearfaktorzerlegung offensichtlich

x^3 - 3·x = x·(x^2 - 3) = x·(x + √3)·(x - √3)

Denk halt drüber nach.

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Sachliche Kritik an einer Antwort ist das eine. Eine Antwort jedoch als "unkommentierten Müll" zu bezeichnen, ist absolut inakzeptabel. Ein solches unangemessenes Verhalten zeigen hier im Forum zum Glück aber auch nur sehr wenige Personen.

Ich habe die Beiträge ausgeblendet. So ein Verhalten muss man hier nicht dulden.

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Die eigentliche Kritik bleibt:

Die Antwort ist unvollständig, unkommentiert sowie unübersichtlich und damit für andere mehr oder weniger unbrauchbar.