Nullstellen des Polynoms, bestimmen von komplexen Nullstellen, komplexe Linearfaktoren, lineare + quadratische Faktoren

Question

Rechnen Sie nach, dass 1 und i Nullstellen des Polynoms f(z) = z7 −2z6 + 5z5 −8z4 + 7z3 −6z2 + 3z sind. Bestimmen Sie alle (komplexen) Nullstellen und ihre Vielfachheiten. Zerlegen Sie das Polynom in komplexe Linearfaktoren. Was ist die entsprechende Zerlegung in reelle lineare und quadratische Faktoren?

Answer 1

f(z) = z^7 - 2·z^6 + 5·z^5 - 8·z^4 + 7·z^3 - 6·z^2 + 3·z

Wenn i eine Nullstelle ist, dann ist auch -i eine Nullstelle also (z^2 + 1) als Faktor.

Mache jetzt eine Polynomdivision durch die bekannten Nullstellen (inkl. 0)

z * (z^6 - 2·z^5 + 5·z^4 - 8·z^3 + 7·z^2 - 6·z + 3)

(z^6 - 2·z^5 + 5·z^4 - 8·z^3 + 7·z^2 - 6·z + 3) / (z - 1) = z^5 - z^4 + 4·z^3 - 4·z^2 + 3·z - 3

(z^5 - z^4 + 4·z^3 - 4·z^2 + 3·z - 3) / (z^2 + 1) = z^3 - z^2 + 3·z - 3

Nun sieht man noch eine Nullsteelle bei 1

(z^3 - z^2 + 3·z - 3) / (z - 1) = z^2 + 3

Nun sehen wir auch noch die letzten Nullstennen bei z = ± √3·i

Die Faktorzerlegung lautet

z^7 - 2·z^6 + 5·z^5 - 8·z^4 + 7·z^3 - 6·z^2 + 3·z = z·(z - 1)^2·(z^2 + 1)·(z^2 + 3)