f(z) = z^7 - 2·z^6 + 5·z^5 - 8·z^4 + 7·z^3 - 6·z^2 + 3·z
Wenn i eine Nullstelle ist, dann ist auch -i eine Nullstelle also (z^2 + 1) als Faktor.
Mache jetzt eine Polynomdivision durch die bekannten Nullstellen (inkl. 0)
z * (z^6 - 2·z^5 + 5·z^4 - 8·z^3 + 7·z^2 - 6·z + 3)
(z^6 - 2·z^5 + 5·z^4 - 8·z^3 + 7·z^2 - 6·z + 3) / (z - 1) = z^5 - z^4 + 4·z^3 - 4·z^2 + 3·z - 3
(z^5 - z^4 + 4·z^3 - 4·z^2 + 3·z - 3) / (z^2 + 1) = z^3 - z^2 + 3·z - 3
Nun sieht man noch eine Nullsteelle bei 1
(z^3 - z^2 + 3·z - 3) / (z - 1) = z^2 + 3
Nun sehen wir auch noch die letzten Nullstennen bei z = ± √3·i
Die Faktorzerlegung lautet
z^7 - 2·z^6 + 5·z^5 - 8·z^4 + 7·z^3 - 6·z^2 + 3·z = z·(z - 1)^2·(z^2 + 1)·(z^2 + 3)
