Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=-x^2 + 4x, x€R.

Question

wiewuerde ich hier vorgehen ?

nr 5

Answer 1

1. Rechne den Schnittpunkt mit der x-Achse aus.

Auf der x-Achse gilt y=0.

Daher: Setze f(x) = 0.

Du bekommst zwei  x-Werte raus für die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse.

Answer 2

f ( x ) = -x^2 + 4*x

-x^2 + 4*x = 0
x^2 - 4*x = 0
x * ( x - 4 ) = 0
Satz vom Nullprodukt
x = 0
und
x - 4 = 0
x = 4

( 0 | 0 ) ( 4 | 0 )

f´( x ) = -2*x + 4

f ´( 0 ) = -2*0 + 4
f ´( 0 ) = 4

f ´( 4 ) = -2*4 + 4
f ´( 4 ) = -4

f ´( 2 ) = -2*2 + 4 = 0 ( Scheitelpunkt )

Monotonie steigend
f ´( x ) > 0
-2*x + 4 > 0
4 > 2x
2x < 4
x < 2

Fallend : x > 2

Die Funktion ist ansteigend bis x = 2 und ist dann fallend.
( Eine nach unten geöffnete Parabel )

Steigung Gerade
y = 1 * x
m = 1
Steigung Tangente
m(t) = -1 / m = -1 / 1 = -1

f ´( x ) = -2*x + 4 = -1
-2*x + 4 = -1
-2x = -5
x = 2.5

An der Stelle x = 2.5 hat eine Tangente die Steigung -1.
f ( 2.5 ) = -2.5^2 + 4*2.5
f ( 2.5 ) = 3.75

( 2.5 | 3.75 )
Die Tangente führt durch diesen Punkt
3.75 = -1 * 2.5 + b
b = 6.25

t ( x ) = -1 * x + 6.25

~plot~ -x^2 + 4*x ; -x + 6.25 ; x ~plot~