Sei f:X->Y eine Abbildung. Zeigen Sie, dass f injektiv ist, gdw. Linksinverse...

Question

Sei f:X->Y eine Abbildung. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind

$$ Sei\quad f: X\rightarrow Y\quad eine\quad Abbildung.\quad Zeigen\quad Sie,\quad dass\quad folgende\quad Aussagen\quad aequivalent\quad sind:\\ \\ (i)\quad f\quad ist\quad injektiv.\\ (ii)\quad f\quad hat\quad eine\quad Linksinverse,\quad d.h.\quad es\quad gibt\quad eine\quad Abbildung\quad g: Y \rightarrow  X\quad mit\quad g\circ f={ id }_{ x }.\\ (iii)\quad Sind\quad g,h: Z \rightarrow  X\quad zwei\quad Funktionen\quad mit\quad f\circ g =\ f\circ h,\quad so\quad gilt\quad g=h. $$

Ich habe mir überlegt, es mit einem Ringschluss zu beweisen, sprich von (i) auf (ii) zu schließen, von (ii) auf (iii) und wiederum von (iii) auf (i) zu schließen.

Wie ich von (i) auf (ii) schließe, habe ich bereits herausgefunden. Allerdings kann ich mit 
$$ (iii)\quad Sind\quad g,h: Z \rightarrow  X\quad zwei\quad Funktionen\quad mit\quad f\circ g =\ f\circ h,\quad so\quad gilt\quad g=h. $$

leider gar nichts anfangen. Woher kommt denn plötzlich das Z?

Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.

Answer 1

\(Z\) ist einfach irgendeine Menge, so wie \(X\) und \(Y\) irgendwelche Mengen sind. Wichtig ist, dass bei (iii) die Funktionen \(g\) und \(h\) von \(Z\) nach \(X\) abbilden.

Der Schritt von (ii) auf (iii) ist eigentlich der einfachste in deinem Ringschluss. Da in (ii) sowie in (iii) aber beides mal \(g\) vorkommt (sehr unvorteilhaft), versteh ich deine Verwirrung. Natürlich sollen beide voneinander getrennt betrachtet werden und stehen im Sinne der Behauptung nicht zwangsweise für dieselbe Funktion. Deswegen benutzen für \(g\) aus (ii) einfach eine andere Bezeichnung.

Für den konkreten Schritt: Wende einfach auf beiden Seiten bei (iii) die Linksinverse aus (ii) an.

Gruß

Comments

Hallo Yakyu,

erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort. Dass die g in (ii) und (iii) verschiedene Funktionen sein sollen, ist mir so noch gar nicht aufgefallen, danke!

Was meinst du aber mit "Wende einfach auf beiden Seiten bei (iii) die Linksinverse aus (ii) an."?

Tut mir leid, ich steh wirklich vollkommen auf dem Schlauch!

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Nennen wir die Linksinverse aus (ii) doch einfach \(l\).

Was passiert jetzt wenn wir bei \(f \circ g = f \circ h \) die Linksinverse auf beiden Seiten anwenden?

$$\begin{aligned} (l \circ f) \circ g &= (l \circ f) \circ h \\ id_X \circ g &= id_X \circ h \\ g &= h \end{aligned}$$

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*facepalm*

Du bist ein Lebensretter, da hätte ich eigentlich von selbst draufkommen müssen.

Bleibt nur noch (iii) -> (i). Im Grunde muss ich da nur zeigen, dass
$$f\circ g$$ und $$f\circ h$$ injektiv sind, oder?

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Nun es sind ja beides die gleichen Funktionen. Du sollst zeigen, dass \(f\) injektiv ist und darfst dafür benutzen, dass (iii) gilt. Ist im grunde auch nichts wildes. Willst du es erstmal selber probieren?

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Ich würde es gerne versuchen, allerdings weiß ich nicht wirklich, wie ich einen Injektivitätsbeweis im Allgemeinen angehen soll. (iii) hilft mir da leider auch nicht viel weiter...

Umgekehrt wäre es leichter, dass wenn $$g\circ f$$ injektiv ist, dass auch f injektiv ist.

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\(g \circ f\) ist gar nicht wohldefiniert ^^ du meinst es bestimmt andersrum. Du kannst dies zum Beispiel per Widerspruch zeigen. (iii) soll gelten. Nehme an \(f\) wäre nicht injektiv. Jetzt folgere, dass aus \(f \circ g = f \circ h \) der Widerspruch erscheint, dass \(g(z) \neq h(z) \) für mindestens ein \(z \in Z\) vorkommen kann.

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Okay, ich komm nicht drauf. Warum denn plötzlich ein Widerspruch?

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Es gibt ja keine Vorgabe, dass du eine Implikation direkt zeigen musst (auch nicht in einem Ringschluss) ;).

Mal ausführlich (es gibt bestimmt kürzere Alternativen)

\(f\) nicht injektiv bedeutet es ex. \(x_1, x_2 \in X\) mit \(x_1 \neq x_2 \) und \(f(x_1) = f(x_2)\).

Sei \(z_1, z_2 \in Z \) mit \(z_1 \neq z_2\). Wir wählen \(g\) so, dass \(g(z_1) = x_1\) und \(g(z_2) =x_2 \)

Jetzt wählen wir die Funktion \(h\) so:

$$ h(z) := \begin{cases} \begin{aligned}x_2&, \text{ falls }z = z_1 \\ x_1&, \text{ falls } z = z_2 \\ g(z)&,  \text{ sonst} \end{aligned}\end{cases}$$

somit ist zwar \( f \circ g = f \circ h \) aber \( g \neq h \).

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Ah, jetzt versteh ich es.

Dank dir vielmals! Du warst eine große Hilfe. Hab schon langsam Panik geschoben ^^'

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Kein Thema, nur die Ruhe du findest dich schon rein ;).