Skript:
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Def. 2.10: \( g: B \longrightarrow A \) heißt rechts- (bzw. links-) invers zu \( f: A \longrightarrow B \) g.d.w. \( f \circ g=\operatorname{Id}_{B} \) (bzw, \( g \circ f=\operatorname{Id}_{A} \) ). \( g \) heißt invers zu \( f \) (auch Umkehrabbildung) g.d.w. \( g \) rechts- und linksinvers zu \( f \). Schreibe dann \( f^{-1}=g \). \( f \) heißt (rechts-, links-) invertierbar g.d.w. es eine (rechts-, links-) inverse Abb. zu \( f \) gibt.
Bsp. 2.11: (a)
\( \begin{array}{c} \text { inieuln }^{v} \\ f: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}, \quad f(n):=2 n, \\ g_{1}: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}, \quad g_{1}(n):=\left\{\begin{array}{ll} n / 2 & \text { für } n \text { gerade, } \\ 1 & \text { für } n \text { ungerade, } \end{array}\right. \\ g_{2}: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}, \quad g_{2}(n):=\left\{\begin{array}{ll} n / 2 & \text { für } n \text { gerade, } \\ 2 & \text { für } n \text { ungerade. } \end{array}\right. \end{array} \)
\( g_{1}, g_{2} \) beide linksinv. zu \( f, f \) hat keine rechtsinv. Abb. nach Th. 2.12(c) unten.
(b)
\( \begin{aligned} f: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}, & f(n):=\left\{\begin{array}{ll} n / 2 \\ (n+1) / 2 & \text { für } n \text { ungerade }, \end{array}\right.\\ g_{1}: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}, & g_{1}(n):=2 n, \\ g_{2}: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}, & g_{2}(n):=2 n-1 . \end{aligned} \)
\( g_{1}, g_{2} \) beide rechtsinv. zu \( f, f \) hat keine linksinv. Abb. nach Th. 2.12(c) unten.
Frage:
Ich habe das Prinzip von rechts- und linksinversen Abbildungen verstanden.
Ich verstehe nur nicht warum zwischen g1 und g2 unterschieden wird und wie man auf g(n1) und g(n2) kommen soll..
