Gebrochenrationale Funktion: y= ((x^2 -x -2)/(x^3 -4x^2 +5x -2))

Question

Wir haben folgende Funktion:

y= ((x^2 -x -2)/(x^3 -4x^2 +5x -2))

Wenn ich nun für den Zähler und den Nenner die Nullstellen ermittle ergeben sich daraus ja die linear Faktoren.

Für den Zähler wäre das dann : (x-2)(x+1)

Für den Nenner: (x-1)^2 (x-2) → damit wäre meine Definitionsmenge ja ℝ \ {-1;2}

Da ich aber nun y=(((x-2)(x+1))/((x-1)^2 (x-2))) stehen habe kürzt sich das (x-2) im Zähler sowie dem Nenner. Dann ist meine D= ℝ\{-1}

So nun zu meiner Fragen was ich nicht versteh ist weshalb mein gekürztes ergebnis y=((x+1)/(x-1)^2) nicht der selben funktion y= ((x^2 -x -2)/(x^3 -4x^2 +5x -2)) entspricht?

Answer 1

Bedenke, 1 und 2 gehören nicht zum Definitionsbereich der gegebenen Funktion, Division durch Null, jetzt erkennst du auch, was durch dein Kürzen passiert ist, du hast schlichtweg eine neue Funktion

Answer 2

"Kürzen" mit (x-2) ist: oben und unten durch (x-2) dividieren. Das ist nur erlaubt, wenn x-2≠0 und somit x≠2. 

f(x) = ((x² -x -2)/(x³ -4x² +5x -2))

= (x-2)(x+1) / ((x-1)² (x-2))          | x≠2

= (x+1)/(x-1)^2 , für x≠2 .

Soweit ist das noch die gleiche Funktion. Die hat an der Stelle x=2 einfach ein (unsichtbares) "Loch" im Graphen. 

Du kannst aber eine der Definitionslücken "stetig stopfen", indem du einfach die Einschränkung des Definitionsbereichs weglässt. 

Dann hast du

g(x) = (x+1)/ (x-1)² 

Comments

Also war "kürzen" von (x-2) nicht erlaubt weil 2 eine Definitionslücke ist?

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Erlaubt ist es schon, wenn du nachher einfach noch zusätzlich immer extra hinschreibst, dass x≠2.

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Obwohl wenn ich bei g(x)=((x+1)/(x-1)^2) für x=2 einen existierenden Wert von 3 herausbekomme schreibe ich dennoch D=R\{1;2} ? Danke für die schnelle Antwort!

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Ja. So ist es.

Ausser du wirst aufgefordert die Definitionslücke "stetig zu stopfen", bzw. hebbare Unstetigkeitsstellen zu entfernen.

Answer 3

>  meine Definitionsmenge ja ℝ \ {-1;2}  stimmt nicht:   D = ℝ \ {1;2} 

  D = ℝ \ {1;2}  fx) = (x² -x -2) / (x³ -4x² +5x -2)

  D = ℝ \ {1;2}  f(x) =  (x+1) / (x-1)² 

beschreiben die gleiche Funktion.

Bei der ersten Darstellung ist lediglich der maximale Definitionsbereich   der Funktionsvorschrift 

= D = ℝ \ {1} größer.

Gruß Wolfgang