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Schönen Mittag,

ich habe folgende Aufgabe zu lösen.


$$ Sei\quad A⊂\left[ a,b \right] \quad die\quad Vereinigung\quad von\quad offenen\quad Intervallen\quad ({ a }_{ i },{ b }_{ i }),\quad sodass\quad jede\quad rationale\quad Zahl\quad in\quad (0,1)\quad in\quad einem\quad ({ a }_{ i },{ b }_{ i })\quad enthalten\quad ist.\quad \\ Zeigen\quad Sie,\quad dass\quad der\quad Rand\quad von\quad A\quad gegeben\quad ist\quad durch\quad \left[ 0,1 \right] -A$$


Ich weiß, dass die Schnittmenge von offenen Mengen wieder offen ist und das der Rand von A folgendermaßen definiert werden kann:

$$Rand\quad \partial A\quad von\quad A\quad :=\quad \partial A\quad =\quad \overset { \_ \_  }{ A } \quad \sqcap \quad \overset { \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ }{ A\diagdown \left\{ x \right\} \quad  } \\ wobei\quad gilt:\quad A\quad \subset \quad X\quad und\quad x\quad \in \quad X$$

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Bitte schau dir den Post nochmal an. In der Form ist er nicht lesbar.

Text sollte nicht in der Formelumgebung geschrieben werden.

jetzt editiere ich sie noch einmal. Die Aufgabe lautet folgendermaßen:

Sei A ⊂ [a,b] die Vereinigung von offenen Intervallen (ai,bi), sodass jede rationale Zahl in (0,1) in einem (ai,bi) enthalten ist. Zeigen Sie, dass der Rand von A gegeben ist durch: [0,1]-A 

Ich weiß, dass die Schnittmenge und Vereinigung von offenen Mengen wieder offen ist und das der Rand ∂A folgendermaßen definiert ist: 

A ⊂ X und x∈X   dann gilt für 

∂A = $$\overset { \_ \_  }{ A } -\overset { \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_  }{ A\diagdown \left\{ x \right\}  } $$


"dass die Schnittmenge und Vereinigung von offenen Mengen wieder offen ist "

Das ist falsch. Nur endliche Schnitte von offenen Mengen sind offen. 

Und das was du als Defintion des Rands hinschreibt ist keine.

Der Rand einer Menge U ist definiert als der Abschluss von U ohne das Innere von U.

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Da die rationalen Zahlen dicht in den reellen zahlen sind ist der Abschluss von A das Intervall [0,1]. A ist offen, also identisch mit seinem Inneren.

Mit der Defintion von Rand (siehe mein Kommentar) folgt die Behauptung.

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