Warum kann eine Polynomfunktion 2 Grades nicht 3 Nullstellen haben?

Question

Eine Frage, es gibt die Regel eine Funktion kann maximal die Anzahl an Nullstellen haben, die ihrem Grad entsprechen. Also bei Polynomfunktion 2 Grades nur 2 Nullstellen. Aber warum?

Bei der Funktion (x-3)²+(x-2)+(x-1) liegt eine Funktion 2 Grades vor oder nicht? Da x² die höchste vorkommende Potenz ist. Allerdings würden die Nullstellen x=3, x=2 und x=1 ergeben.

Ist die Funktion vielleicht gar keine Funktion 2 Grades oder an was liegt das sonst?

Answer 1

Weder 1 noch 2 noch 3 sind Nullstellen von (x-3)²+(x-2)+(x-1). (Die Funktionswerte sind 3, 2 und 3)

Sie sind Nullstellen von (x-3)²*(x-2)*(x-1). Das Polynom hat aber Grad 4 und nicht 2.

Answer 2

beim Überprüfen, ob eine Nullstelle vorliegt, musst du für x immer die gleiche Zahl einsetzen

Keine der Zahlen 1,2,3 erfüllt die Gleichung   (x-3)²+(x-2)+(x-1) = 0

Beim ausrechnen erhältst du     x²  - 4·x + 6 = 0

Die Gleichung hat überhaupt keine reellen Nullstellen. Das kannst du mit der pq-Formel nachprüfen.

Gruß Wolfgang

Answer 3

Polynome kann man auf 2 Grundarten aufschreiben:

a) Produkt (x+a)*(x+b)

b) Summe: a*b+a x+b x+x^2 = x² + (a+b)*x + a*b

Produkt ist dann 0, wenn auch nur 1 Faktor 0 ist -> da 2 Faktoren -> 2 Nullstellen

Bei Polynomen bis Grad 4 gibt es exakte explizite Lösungsformeln siehe

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

Dabei hat jedes Polynom vom Grad n auch immer n Nullstellen.

Einziger Streitpunkt ist, ob die Nullstellen reell, komplex oder doppelt (übereinanderliegend, z.B. wenn a=b) sind.

(x-3)^2+(x-2)+(x-1) = x^2-4 x+6 = (2- sqrt(2) i) * (2+ sqrt(2) i)

also 2 komplexe Nullstellen

Comments

Tipp-Fehler! Es muss lauten:

(x-3)^2+(x-2)+(x-1) = [x-(2- sqrt(2) i)]*[x-(2+ sqrt(2) i) ] = (x-2 -i sqrt(2))*(x-2+i sqrt(2))