Konvergenz einer Folge per Definition beweisen

Question

Ich soll mit Hilfe der Definition der Konvergenz folgende Folge beweisen:

Lim n-->unendlich: \frac { 2n²-1+n }{ n³+n-42 }  = 0

Zunächst die Definition:  Für alle Epsilon>0 existiert mindestens ein N aus den natürlichen Zahlen,  sodass für alle natürlichen Zahlen n gilt : n≥N => |a_n-0|<Epsilon

|(2n²-1+n)/(n³+n-42) - 0|< Epsilon

(2n²-1+n)/(n³+n-42) < Epsilon

Wie mache ich nun weiter? In der Vorlesung haben wir nur ein einfaches Beispiel gemacht. Ich weiß wie man den Grenzwert so berechnet, jedoch nicht mit Hilfe des Epsilon Beweises.

(2n²-1+n)/(n³+n-42) = n³(2/n-1/n³+1/n²) / n³ (1+1/n²-42/n³) = 0/1 = 0

Also alles mit n³ multipliziert, n³ weggekürzt und den Rest gegen unendlich laufenlassen.

Hier nochmal wie unser Prof mit dem einfachen Beispeil gemacht hat.

slides_Vorlesung06 (1).pdf (0,5 MB)

Comments

Wie kommst Du darauf, die Betragsstriche einfach wegzulassen? Fuer n=1 kommt z.B. was negatives raus.

Answer 1

Hi, es gilt
$$ \frac{2n^2-1+n}{n^3+n-42} = \frac{ \frac{2}{n}-\frac{1}{n^3}+\frac{1}{n^2} }{1+\frac{1}{n^2}-\frac{42}{n^3}} \to 0 $$