Konvergenz einer Folge durch Definition Konvergenz beweisen

Question

Folgende Aufgaben habe ich vor mir, leider nur geringfügige Ansätze dazu. Ich muss mit Hilfe der Definition der Konvergenz folgende Aussagen beweisen und komme einfach nicht weiter.

Answer 1

Man erkennt bei dir brauchbare Ansätze, aber die Ausführung ist noch fehlerhaft.

Kann kann den Beweis so formulieren:

Vermuteter Grenzwert  1.

zu zeigen:   \(\lim_{n \to oo} \) \(\frac{n^2+5}{n^2-4}\)  = 1

⇔:   Für alle ε∈ℝ⁺  gibt es N(ε):  | \(\frac{n^2+5}{n^2-4}\)  - 1 |  < ε  falls n > N(ε)

Nachweis:

Sei ε∈ℝ⁺ beliebig aber fest.

Wähle N(ε) := √ (9/ε + 4) +1   [ Begründung ergibt sich unten ]

dann gilt:  | \(\frac{n^2+5}{n^2-4}\) - 1 |  = | \(\frac{n^2+5}{n^2-4}\)  - \(\frac{n^2-4}{n^2-4}\) | = | \(\frac{9}{n^2-4}\) |

= \(\frac{9}{n^2-4}\) wenn man  N > 2 wählt

es bleibt zu zeigen:   \(\frac{9}{n^2-4}\) < ∈  für genügend großes n∈ℕ:

⇔  9 < ε • (n² - 4)  ⇔ n² > 9/ε + 4 ⇔ n > √ (9/ε + 4)

Gruß Wolfgang

  

Answer 2

du solltest unbedingt auf deine Notation achten, dass was du bei (i) geschrieben hast sieht nicht gut aus (und ist teilweise sogar einfach nur falsch).

Sei \( \varepsilon > 0 \).

Für \(n \geq 2\) suchen wir ein \(n\) mit : \( |a_n -1 | = \left | \frac{9}{n^2-4} \right | = \frac{9}{n^2-4} < \varepsilon.\)

Das wird umgeformt zu \(\sqrt{\frac{9}{\varepsilon}+4} < n \). Nach dem archim. Axiom ex. ein \(n_0\), dass die Ungleichung erfüllt und somit gilt für alle \(n \geq n_0\) das \(|a_n-1| < \varepsilon\). Da \(\varepsilon\) beliebig gewählt wurde konvergiert die Folge also gegen 1.

Hinweise zu den restlichen Aufgaben:

b) Verwende das archimedische Axiom: \( \forall a \in \mathbb{R} \  \exists n \in \mathbb{N}: n \geq a \).

c) Verwende die 2. Dreiecksungleichung: \( ||a|-|b|| < |a-b| \).

d) Schreibe \(|d_n e_n - de | = |d_n e_n - d_ne + d_ne -de | \), verwende die 1. Dreiecksungleichung und nutze die Definition sowie geeignete Abschätzungen. Die Aufgabe ist ein wenig anspruchsvoller als die anderen.

Gruß