Ist die Reihe konvergent, wenn ja- berechne die Summe

Question

Ich habe folgendes Beispiel gegeben:

Ist die unendliche Reihe $$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ (2*{ (\frac { 3 }{ 4 } ) }^{ n }) } $$ konvergent? (Begründung!)
Wenn ja, geben Sie die Summe der Reihe an.

Ich würde sagen, dass die geometrische Reihe konvergent ist, da q = 0,75 < 1. Wie gebe ich hier aber die Summe an- bei einer unendlichen Reihe?

Wie würde das ganze bei einer arithmetischen Reihe aussehen? Hätte da jemand ein Beispiel für mich? Wie sehe ich ihr, ob eine Reihe konvergent / divergent ist, bzw. wie berechne ich diese Summe?

Answer 1

Wie gebe ich hier aber die Summe an- bei einer unendlichen Reihe? 

Nimm die Summenformel für geometrische Reihen. Setze ein und rechne bis du eine (hoffentlich endliche) Zahl raushast. 

2 kannst du übrigens vor das Summenzeichen schreiben. 

Comments

Eine (unendliche) arithmetische Reihe kann nicht konvergieren. 

Die Summanden haben immer die gleiche Differenz. Das führt dazu, dass die Summanden selbst schon automatisch gegen + oder - unendlich gehen. 

Geometrische Summen konvergieren nur, weil (wenn) die Summanden selbst (absolut!) immer kleiner werden.