Aufgabe zu Untervektorräumen:

Question

folgende Aufgabe ist gegeben: V Vektorraum über einem Körper K. U und W sind Untervektorräume von V. Zu Zeigen:

a) U ∩ W ist ein Untervektorraum von V.
Mein Gedankengang:
Die drei Eigenschaften eines Untervektorraums überprüfen.
1. Sei V ein Vektorraum über einem Körper K, dann gilt V ≠ ∅. Da U und W Untervektorräume von V sind, gilt, U ⊆ V und W ⊆ V. Da V ≠ ∅ und die Untervektorräume stets nichtleere Teilmengen von V sind, folgt daraus U ≠ ∅ und W ≠ ∅.

2. Seien u,w ∈ (U ∩ W), dann sind u,w ∈ U und u,w ∈ V.
Sei u+w ∈ (U ∩ W), so gilt u+w ∈ U und u+w ∈ W.

3. Sei λ ∈ K und v ∈ (U ⊆ W), dann folgt λ ∈ (U ⊆ W) und v ∈ (U ⊆ W).
Somit gilt auch λv ∈ (U ⊆ W).

b) Gilt U ⊆ W oder U ⊇ W, so ist U ∪ W ein Untervektorraum von V.
Mein Gedankengang:
Formal würde das ja dann so aussehen: (U ⊆ W) ∨ (W ⊆ W) => (U ∪ W) ⊆ V
Jetzt habe ich mir gedacht, ich nehme ein beliebiges Element σ:
Sei σ ∈ ((U ⊆ W) ∨ (W ⊆ U)), dann ist σ ∈ (U ⊆ W) ∨ σ ∈ (W ⊆ U).
Also ist σ ∈ U und σ ∈ W. Daraus folgt σ ∈ (U ∩ W).

Ich bin mir ziemlich unsicher bei meinen Beweisen, da sie mir diese zu einfach erscheinen. für die Hilfe :-)

Answer 1

Hi,

trivial ist gut. Deinen Gedanken fehlt es an Struktur und teilweise an Inhalt.

a)

1. Du hast nicht gezeigt, dass \( U \cap W \neq \emptyset\), sondern nur um den heißen Brei herum geredet.

2. Sei u+w ∈ (U ∩ W), so gilt u+w ∈ U und u+w ∈ W.

Der erste Teil ist das, was eigentlich zu zeigen ist! Durch deine vorige Argumentation reicht es den Satz also so rum zu schreiben:

Da  u+w ∈ U und u+w ∈ W gilt u+w ∈ (U ∩ W)

3. Ohje, in der Aufgabe verrutscht oder was? Außerdem warum sollte ein Element des Körpers ein Element des Vektorraums sein?

b) (U ⊆ W) ∨ (W ⊆ W) => (U ∪ W) ⊆ V 

Das es eine Teilmenge ist ist doch klar. Es ist zu zeigen, dass es ein UVR ist. Am Ende der darauffolgenden Argumentation schreibst du plötzlich wieder über den Durchschnitt?????

Diese Aufgabe ist super kurz, denn wenn \( U \subseteq W \) dann ist \(U \cup W = W \) (analog beim anderen Fall).

Gruß

Comments

:-( Egal welchen Ansatz ich gelegentlich mache, es kommt einfach nichts dabei raus, total frustrierend..

Danke Yakyu

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Struktur ist essentiell!

Bevor man versucht eine Behauptung zu beweisen sollte man sich erstmal klar machen was eigentlich vorausgesetzt ist und was überhaupt gezeigt werden soll.

Hinter jedem Argument, dass du in deinem Beweis notierst sollte ein Gedanke stecken, denn du begründen können solltest.

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So jetzt sollte es für ein Beispiel stimmen:

Angenommen es gilt weder U ⊆ W noch W ⊆ U , so ist  U ∪ W kein Untervektorraum von V.
Hinweis: u + w betrachten für Elemente u ∈ U \ W und w ∈ W \ U.

Ich betrachte nun die zwei Elemente u + w.
Erster Fall: Sei u ∈ U \ W Dann ist u ∈ U oder u ∉ W.
Daraus folgt u + w ∈ U oder u + w ∉ W.

Zweiter Fall: Sei w ∈ W \ U. Dann ist w ∈ W oder w ∉ U.
Daraus folgt w + u ∈ W oder w + u ∉ U.

Also ist U ∪ W kein Untervektorraum von V.

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Sollte Dann ist u ∈ U und u ∉ W lauten,
genauso wie u + w ∈ U und u + w ∉ W, sorry.

Selbes im zweiten Fall..

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u+w ist ein Element.

Warum die Fallunterscheidung? Du sollst annehmen, dass  u ∈ U \ W und w ∈ W \ U und das zur selben Zeit und nicht jeweils.

Du scheinst den Hinweis leider nicht ganz verstanden zu haben. Deine Fallunterscheidung hinkt total, da du gar nicht angibst was in Fall 1 \(w\) sein soll und was in Fall 2 \(u\) sein soll. Demnach ist in Fall 1 überhaupt nicht klar warum \(u+w \in U \) und in Fall 2 warum \(w+u \in W\). Insbesondere folgt die Aussage nicht aus deiner Fallunterscheidung, sie widerspricht sich ja sogar in ihrer Kernaussage.

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Ich muss lernen, erst das Problem genau zu verstehen.

Sorry Yakyu für diese dummen Folgerungen und vielen Dank für deine Hilfe mal wieder.

Ich mache mich gleich wieder ran ans Werk...

Wünsche dir einen guten Start in die Woche :-)

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Kein Problem!

Danke dir auch :).