Äquivalenz von Aussagen zu einer Abbildung; "f ist injektiv."

Question

Sei f: A → B eine Abbildung. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1) f ist injektiv

2) ∀ X⊆A: f^-1 (f(X)) = X

3) ∀ X,Y⊆A: f(X) ∩ f(Y) = f(X ∩ Y)

4) ∀ X,Y⊆A: X ∩ Y = ∅ ⇒ f(X) ∩ f(Y) = ∅

5) ∀ X,Y⊆A: X ⊆ Y ⇒ f(Y \ X) = f(Y) \ f(X)

Starre schon seit knapp einer stunde auf diese Aufgabe und weiß einfach nicht weiter ...

Comments

Sagt dir der Begriff "Ringschluss"  etwas?

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Ja da benutzt man die eine Aussage um die andere zu zeigen und so weiter damit sich dann ein "Ring" aus äquivalenzen ergibt.

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Dann hast du doch einen ersten Ansatz. Wo du anfängst bleibt ganz dir überlassen :D.

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Kannst du mir kurz an 2 Aussagen zeigen wie man das genau anstellt.

Hab das selber noch nie wirklich gemacht :(

Answer 1

ok mal ein ausführlicher Anstoss:

Wir zeigen aus 1) folgt 2):

Voraussetzung: \(f\) ist injektiv.

Da \(X \subseteq f^{-1}(f(X)) \) bleibt lediglich

zu zeigen: \( f^{-1}(f(X)) \subseteq X \).

Sei \(p \in f^{-1}(f(X))\). Das bedeutet \(f(p) \in f(X)\). Außerdem existiert \(x \in X \) mit \(f(x) = f(p) \). Da \(f\) injektiv ist gilt \(x=p\) und somit ist \(p \in X \).

Gruß

Comments

Hey danke dir sieht auf dem zwweiten blick recht simpel aus. ich denke ich werd jetzt alleine weiterkommen :)

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Kein Ding. Ja ist echt nix wildes, aber eine gute Grundübung.

Answer 2

fang mal so an :  aus (1) folgt (2) :

Sei also f injektiv und angenommen es gibt eine

Teilmenge X von A mit  f^-1 (f(X)) ≠ X

Da immer  X ⊆  f^-1 (f(X))   ist, gibt es also

ein a aus   f^-1 (f(X))mit a ∉ X.

a aus   f^-1 (f(X)) heißt aber es gibt ein y aus f(X)

mit f(a) = y .

Da aber y aus f(X) gibt es ein b aus X mit f(b)=y.

Da f injektiv ist, folgt aus f(a) = f(b) aber a = b ,

also a aus X. Widerspruch.

Damit hast du: aus (1) folgt (2).

Jetzt vielleicht:  aus (2) folgt (3)   etc . bis am

Ende aus (5) folgt (1) gezeigt ist. Dann ist der

Ringschluss fertig.

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Danke dir auch auch schön zu sehen wie es auf verscheidene Wege gelöst werden kann :)