Größtmögliche Fläche für Gehege der Kaninchen berechnen

Question

  

Liselotte Pulver möchte hinter ihrem Haus ein abgezäuntes Kaninchengehege bauen. Sie war schon im Baumarkt und hat 14 m Maschendraht eingekauft. Damit ihre Lieblingstiere auch genügend Platz haben, möchte sie die größtmögliche Fläche mit dem Maschendraht umzäunen. An der Hauswandseite muss natürlich kein Zaun gesetzt werden.

1. Bestimme, welches der möglichen eingezäunten Rechtecke den maximalen Flächeninhalt hat.

2. Kannst du das Ergebnis verallgemeinern, indem du dasselbe Problem für 24, 50 und 71 m Maschendrahtzaunlänge löst?

Comments

Gehe vor wie beim Zaun am Fluss hier:

https://www.mathelounge.de/52464/funktionsgleichung-definitionsmenge-rechteckiges-einzaunen

bzw. hier

https://www.mathelounge.de/268526/zaun-optimale-rechteckige-flache-einzaunen

Answer 1

Antwort siehe im Kommentar von Lu

Answer 2

a : 1 Seite
b : 2.Seite

Umfang = Zaunlänge ohne Mauer : 2 * a + 2 * b

Dank der Mauer

U = 2 * a + b
F = a * b

Ziel : max von F

aus 1.
14 = 2 * a + b
b = 14 - 2 * a

in 2.
F ( a ) = a * ( 14 - 2 * a )
F ( a = 14 * a - 2 * a^2

F ´ ( a ) = 14 - 4 * a
Extremwert
F ´ ( a ) = 14 - 4 * a = 0
a = 14 / 4 = 3.5 m

b = 14 - 2 * a = 14 - 3.5 * 2 = 7 m

a = 3.5 m
b = 7 m

Allgemeine Lösung

U als Variable beibehalten

U = 2 * a + b
F = a * b

Ziel : max von F

aus 1.
U = 2 * a + b
b = U - 2 * a

in 2.
F ( a ) = a * ( U - 2 * a )
F ( a = U * a - 2 * a^2

F ´ ( a ) = U - 4 * a
Extremwert
F ´ ( a ) = U - 4 * a = 0
a = U / 4 

b = U - 2 * a = U - U / 4  * 2
b = U - U /2 = U / 2

a = U / 4
b = U / 2