lineare Abbildung , Basis bestimmen

Question

Lineare Abbildung v : R^4 -> R^3 sei gegeben durch  c1 |-> (1 2 4) , c2 |-> (2 5 6) , c3 |-> (3 7 10) , c4 |-> ( 1 3 2)
Bestimme eine Basis B = {a1,a2,a3,a4} von R^4 , die eine Basis von Kern(v) enthält und eine Basis B'= {b1,b2,b3} von R^3 mit v(a3) = b1 und v(a4) = b2 . 
Ich weiß überhaupt nicht , wie man diese Aufgabe lösen könnte .

Answer 1

das ist nicht so tragisch wie es aussieht.

1) Bestimme eine Basis von Kern(v).

2) Ergänze diese zu einer Basis von \(\mathbb{R}^4\).

3) Berechne \(b_1\) und \(b_2\).

4) Ergänze zur Basis von \(\mathbb{R}^3\).

Gruß

Comments

Ich verstehe aber überhaupt nicht , wie man Kern(v) mit dieser Abbildungsvorschrift bestimmen kann .

Ich habe ja nur gegeben , dass irgendwelche beliebigen Vektoren auf die oben beschriebenen Vektoren abbilden . (1 2 4) , (2 5 6) , (3 7 10) , (1 3 2) werden abgebildet . Bedeutet das , dass (0 0 0 ) nicht abgebildet wird und Kern(v) damit leer ist ? Falls nein , bin ich hier ratlos .

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Aha ich hab da schon etwas reininterpretiert. Irgendwas wird doch wohl noch über \(c_1\) bis \(c_4\) bekannt sein oder?

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Nein , die Aufgabenstellung wurde genauso übernommen .

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Wenn es keine weitere Beziehung gibt kann die Aufgabe m.E. nach nicht eindeutig gelöst werden, da es bei willkürlicher Wahl keine Festlegung der Dimension des Kerns möglich ist. Sicher, dass da nichts davon steht, dass \(c_1\) bis \(c_4\) linear unabhängig sind, also inbesondere eine Basis des \(\mathbb{R}^4\) sind?

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Die Aufgabe selbst.

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Nächstes mal bitte direkt die Originalaufgabenstellung posten, dann erspart man sich solche unnötige Diskussionen.

Da steht nicht \(c_1\) etc. sondern \(e_1\) bis \(e_4\) und damit sind sicherlich die Einheitsvektoren des \(\mathbb{R}^4\) gemeint die die kanonische Basis bilden!

Somit ist die darstellende Matrix der Abbildung \(\psi\) sofort ablesbar, die angegebenen Bildvektoren bilden ihrer Spalten.

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In diesen "e" sah ich immer nur "c" , danke für die Erleuchtung :D

Ich habe Kern(v) mit { (c-d  -d-c  c  d)  | c,d in R} bestimmt . Wäre das korrekt ?

Und eine Basis von Kern(v) : {(0 0 0 1) , (0 0 1 0) , (0 -1 0 0) , (1 0 0 0)}

Wenn ich eine Basis von Kern(v) aufstellen will, brauche ich doch vier Vektoren, weshalb diese Basis gleichzeitig die Basis von R^4 sein müsste , da diese nach Aufgabenstellung die Basis von Kern(v) enthalten muss. Mit der obigen Basis erhalte ich wohl aber keine Basiselemente b1 = v(a3) .

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Nein, das ist nicht korrekt du scheinst dich am Ende verrechnet (oder auch vertippt) zu haben. Richtig wäre:

$$  \left \{ \begin{pmatrix} -c+d \\ -c -d \\ c \\ d \end{pmatrix} \Large | c,d \in \mathbb{R} \right \} $$

Wie kann der Kern(v) an dieser Stelle eine Basis aus 4 Vektoren besitzen? Das würde bedeuten, dass die Abbildung alle Vektoren aus dem \(\mathbb{R}^4\) auf \(0\) abbilden würde, was sie offensichtlich nicht tut. Außerdem widerspricht das doch deinem eigenen Ergebnis. Aus der obigen Darstellung des Kerns lässt sich direkt eine Basis ablesen:

$$ \left \{ \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right \} $$

Dein Kern ist also 2-Dimensional. Dir fehlen nun noch 2 weitere Vektoren um zu einer Basis des \(\mathbb{R}^4\) zu ergänzen.

Edit: Vertippt :).

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Ich habe mich beim ersten Element des Kerns vertippt, stimmt. Aber ich vermute, dass sich im letzten Element deiner Berechnung (in Kern) ein kleiner Fehler eingeschlichen hat : Es müsste "d" statt "-d" sein , oder? Denn sonst würde ja auch die angegebene Basis {(-1 -1 1 0) , (1 -1 0 1)} nicht passen .

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Haha ja so ist es jetzt sitzen wir beide im Fehlerboot :D. Ich editiere das mal oben.

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Mal sehen , ob mein Fehlerboot noch weiter in den Meeresgrund sinkt :D

Basis {(-1 -1 1 0) , (1 -1 0 1)} muss Teil der anzugebenden Basis von R^4 sein. Dabei können (-1 -1 1 0) und (1 -1 0 1) aber nicht a3 oder a4 der Basis von R^4 sein , da v((-1 -1 1 0) ) = 0 und v(1 -1 0 1) = 0 , es aber gelten muss : v(a3) = b1 und v(a4) = b2 und 0 nicht Teil der Basis von R^3 sein kann.

Ich muss also zwei weitere Basiselemente von R^4 angeben , dabei aber auch noch darauf achten , dass v(a3) = b1 und v(a4) = b2 in einer auch noch nicht vorhandenen Basis von R^3 .

Wenn ich der Basis von R^4 jetzt (1 0 0 0) und (0 -1 0 0) hinzufüge , hätte ich

{(-1 -1 1 0) , (1 -1 0 1) , (1 0 0 0) , (0 -1 0 0 )}  als gültige Basis von R^4 .

Daraus ergäbe sich ja b1 = (1 2 3) und b2= (-2 5 6) , also die noch nicht ganz vollständige Basis von R^3 :

{(1 2 3) , (-2 5 6) , x} . Kann ich daraus nun , indem ich einen weiteren Vektor hinzufüge , eine Basis von R^3 erhalten , wenn die drei Vektoren linear unabhängig sind ?

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Hey sieht gut aus :).

Basis von \(\mathbb{R}^4\) passt. Hättest auch (0 1 0 0) nehmen können.

Kleiner Vorzeichenfehler bei b2.

Klar kannst du einen hinzufügen bei \(\mathbb{R}^3\) hast du ja davor im 4-dimensionalen auch gemacht. Achte nur auf die lin. Unabhängigkeit.

Damit wäre die Aufgabe abgeschlossen ;).

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Das Boot taucht wieder auf :DDanke für die Hilfe.