Sei f : R3 → R4 eine lineare Abbildung. Bestimmen Sie eine Basis von im(f)

Question

Aufgabe:

Sei f : ℝ^3 → ℝ^4 die lineare Abbildung gegeben durch

f(x₁, x₂, x₃) = (x₁-x₂, 2x₂, 0, x₁+x₂+x₃)

Bestimmen Sie eine Basis von im(f)

Problem/Ansatz:

im(f) = f(ℝ^3) = {λ₁ (1, 0, 0, 1) + λ₂ (-1, 2, 0, 1) + λ₃ (0, 0, 0, 1)}
Man müsste die Vektoren nun auf lineare Unabhängigkeit überprüfen und prüfen ob man jeden beliebigen Vektor mittels der Basiselemente als Linearkombination darstellen kann:

Überführt man die Vektoren als Matrix und löst diese nach dem Gauß Verfahren, kommt für λ₁, λ₂, λ₃ = 0 raus. Also linear unabhängig.

Jetzt folgt der Schritt an dem ich Probleme habe. Man sieht an der dritten Komponente des Vektors, dass man die drei Vektoren nicht als Linearkombination so darstellen dass man jeden Vektor aus ℝ⁴ bekommt.

Ich weiß nicht wie man jetzt vorgehen soll. Wäre für Hilfe sehr dankbar.

Comments

Vielleicht wäre eine weitere Idee einen vierten Vektor zur hinzuzufügen:

λ1 (1, 0, 0, 1) + λ2 (-1, 2, 0, 1) + λ3 (0, 0, 0, 1) + λ4 (0, 0, 1, 0)

Dann habe ich mit dem Gauß Verfahren auch λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 0 herausbekommen, also ist das linear unabhängig.

Answer 1

Hallo

im(f) ist ja auch nicht ganz R^4, also brauchst du nur deine 3 Lin unabhängigen. Vektoren als Basis. (im Bild ist ja auch immer die dritte Komponente 0)

lul

Comments

Achso. Passen aber meine 3 ausgewählten Vektoren oder muss ich noch etwas zeigen, damit ich die als Basis angeben kann?