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Ich soll zeigen, dass die quadratische Gleichung w2=z in ℂ für z ≠ 0 genau zwei Lösungen w1,w2 besitzt, und es gilt w2 = - w1

Ich habe nun w= x+iy und z=a+ib gesetzt. Jetzt ist w2= (x+iy)2. Daraus folgt ja, dass ich w2=z setzen muss und diese Gleichung lösen muss.

Also folgt:

(x+iy)2=a+ib

Die linke Klammer habe ich Ausmultipliziert und erhalte folgendes:

x2+2xiy+i2y2 = a+ib

Da i2=-1 ist folgt weiter:

x2+2xiy-y2=a+ib


So ab hier komme ich leider nicht weiter... was muss ich tun, damit ich auf eine quadratische Gleichung komme und dann die Lösungen w1 und w2 bestimmen kann?



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> x2+2xiy-y2=a+ib

Vergleich der Realteile auf linker und rechter Seite liefert x2-y2=a.

Vergleich der Imaginärteile auf linker und rechter Seite liefert 2xy=b

Bestimme x und y in diesem Gleichungssystem.

Avatar von 107 k 🚀

könntest du bitte nochmal erklären, wie du darauf kommst die Real- und Imaginärteile zu vergleichen?

Also ich verstehe deinen Gedankengang nicht so ganz :/


edit: hat sich erledigt... danke :)

Also habe jetzt mal die erste Gleichung nach x aufgelöst und die zweite Gleichung nach y. Ich erhalte:


x=√(a+y2) und y= b/2x


Sind meine beiden Lösungen richtig?

Bei x=√(a+y2) hast du die Hälfte vergessen, nämlich die wo x=-√(a+y2) ist.

y= b/(2x) (bitte beachte die Klammern) kannst du jetzt in die erste Gleichung einsetzen. Deshalb war es auch noch nicht günstig, die erste Gleichung schon umzuformen. Du wirst sie nach dem Einsetzen noch ein mal umformen müssen.

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