Quadratische Gleichungen bei komplexen Zahlen

Question

Ich soll zeigen, dass die quadratische Gleichung w²=z in ℂ für z ≠ 0 genau zwei Lösungen w₁,w₂ besitzt, und es gilt w₂ = - w₁

Ich habe nun w= x+iy und z=a+ib gesetzt. Jetzt ist w²= (x+iy)². Daraus folgt ja, dass ich w²=z setzen muss und diese Gleichung lösen muss.

Also folgt:

(x+iy)²=a+ib

Die linke Klammer habe ich Ausmultipliziert und erhalte folgendes:

x²+2xiy+i²y² = a+ib

Da i²=-1 ist folgt weiter:

x²+2xiy-y²=a+ib

So ab hier komme ich leider nicht weiter... was muss ich tun, damit ich auf eine quadratische Gleichung komme und dann die Lösungen w₁ und w₂ bestimmen kann?

Answer 1

> x²+2xiy-y²=a+ib

Vergleich der Realteile auf linker und rechter Seite liefert x²-y²=a.

Vergleich der Imaginärteile auf linker und rechter Seite liefert 2xy=b

Bestimme x und y in diesem Gleichungssystem.

Comments

könntest du bitte nochmal erklären, wie du darauf kommst die Real- und Imaginärteile zu vergleichen?

Also ich verstehe deinen Gedankengang nicht so ganz :/

edit: hat sich erledigt... danke :)

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Also habe jetzt mal die erste Gleichung nach x aufgelöst und die zweite Gleichung nach y. Ich erhalte:

x=√(a+y²) und y= b/2x

Sind meine beiden Lösungen richtig?

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Bei x=√(a+y²) hast du die Hälfte vergessen, nämlich die wo x=-√(a+y²) ist.

y= b/(2x) (bitte beachte die Klammern) kannst du jetzt in die erste Gleichung einsetzen. Deshalb war es auch noch nicht günstig, die erste Gleichung schon umzuformen. Du wirst sie nach dem Einsetzen noch ein mal umformen müssen.