neN bestimmen für die eine Ungleichung erfüllen.

Question

Hallo ich habe folgende Aufgabenstellung ( im Bild)

Ich würde gerne wissen wie man die gesuchte Menge der natürlichen Zahlen findet für die diese Ungleichung gilt.

Ich kann mir die Linke Seite der Gleichung als Produktsumme vorstellen , die zb von k=0 bis n geht , und (2k)! als faktor enthält . für n=0 kann das ja trivialerweise nicht gehen, n=1 ebenso nicht weil 2>4stimmt nicht , für n= 2 :24>6^3 stimmt auch nicht .

Wie kommt man hier auf eine Zahl für die es gilt?

Answer 1

Für \( n = 3 \) gilt aber die Behauptung. Zeige jetzt, wenn es fü ein \( n_0 \) gilt, dann auch für alle \( n > n_0 \)

Comments

Ah ok , Dann würd ich mal sagen Vollständige Induktion,
bzw. ich habs mal so weit geschafft, wie Kommt bzw. zeigt man das nun weiter das da das steht was ich zeigen will?

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Ich bräuchte morgen Nachmitag dieses Beispiel und habs leider noch nicht , wäre nett wenn mir jemand weiterhelfen könnte :)  Ich habe Probleme am rechnerischen Umformen bzw. Umschreiben Des induktionsschrittes dieses Beispiel.

Gruß

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steht da wirklich \( [(n+1)!]^n \) ich hatte das zuerst nicht richtig gelesen sondern \( [(n+1)!]^2 \)

Dafür gilt die Aussage ab \( n = 3 \)

Für die richtige Aufgabenstellung gilt das wahrscheinlich für kein \( n \in \mathbb{N} \)

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Hallo ja steht so [(n+1)!]n, Ich hab probiert es gilt ab n=2 , für n=3. Nur der Beweis davon ist nicht gerade Leicht das es für alle neN die größer gleich 2 sind :(

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Hi, hier nur der Induktionsschluss
$$ \prod_{k=1}^{n+1} (2k)! = \prod_{k=1}^n (2k)! \cdot (2n+2)! \overbrace{>}^{IV} [(n+1)!]^n \cdot (2n+2)! = [(n+1)!]^{n+1} \cdot (n+2) \cdots (2n+2)> [(n+1)!]^{n+1} (n+2)^{n+1} = [(n+2)!]^{n+1} $$