Liegen die Werte auf dem Einheitskreis...?

Question

Abend Leute,

Ich versuche mich gerade an einer Aufgabe. Ich habe eine Lösung heraus bekommen, leider bin ich mir nicht sicher ob sie richtig ist.

Hier die Aufgabe :

z∈ C (komplexe Zahlen)

z= -0,5+(√3)i

Bestimmen Sie z^k für beliebiges k∈N

Habe erst einmal den Betrag von z ausgerechnet:

|z|=1

Die Werte von z liegen auf dem Einheitskreis.

Somit gilt:

k=1 : -0,5+0,5 (√3 )i

k=2 : -0,5-0,5(√3)i

k=3 : 1

k=4 : -0,5+0,5 (√3)i (beginnt von neu)

....usw.

Stimmt das? Und wenn ja, reicht es wenn ich nur das hier so aufschreibe oder muss ich da noch etwas dazu schreiben?

Danke für die Antworten.☺

Comments

Wenn ich das richtig verstehe, hast Du erstmal nur nachgewiesen, dass z aufgrund von |z| = 1 auf dem Einheitskreis liegt. Jetzt musst Du nur noch beweisen, dass z^k für alle k aus den Natürlichen Zahlen den Betrag von |z|, also den Abstand zum Ursprung nicht ändern.

Berechne doch einfach mal den Betrag von z^k im allgemeinen, falls möglich, ggfs. mit der Polarform.

Answer 1

z= -0,5+0,5*(√3)i     da fehlt wohl noch ein 0,5 ???

Sonst gibt es nicht |z| = 1

Bestimmen Sie z^k für beliebiges k∈N

Habe erst einmal den Betrag von z ausgerechnet:

|z|=1

k=1 : -0,5+0,5 (√3 )i

k=2 : -0,5-0,5(√3)i

k=3 : 1

k=4 : -0,5+0,5 (√3)i (beginnt von neu)

Also kannst du sagen

z^n = cos(2*pi*n/3) + i*sin(2*pi*n/3)

Das ist auch kein Wunder, denn das sind genau die 3. Einheitswurzeln.

Die für k=1 bildet mit der pos. x-Achse einen Winkel von 120°.

Und beim Multiplzieren werden ja die Winkel immer addiert und

wenn - wie hier - der Betrag 1 ist, ändert sich sonst nichts.

also sind die Winkel

120°    240°    360° = 0°  etc.