diskrete metrik durch Norm induziert??

Question

hallo ich bräuchte mal Tipps/Tricks oder Lösungshinweise bei einer Aufgabe...

Aufgabe: V≠∅ ein nicht-leerer Vektorraum. Für eine gegebene Norm ||•||:V→ℝ_o ⁺ nennt man die durch Vorschrift

d(x,y):=||x-y|| für x,y ∈V. Ist die diskrete Metrik durch eine Norm induziert??

danke....

Comments

Kommt drauf an, ob \(|V|=1\) oder nicht...

---

ist nicht angegeben...

---

Dann musst du eben zwei Fälle betrachten.

---

also sind sie Fälle

1.Fall |V|≠1 und 2.Fall: |V|=1 oder?

---

Genau.

---

und wie zeige ich des...

muss ich die Metrik Eigenschaften zeigen oder?

---

Nein, die Metrikeigenschaften musst du nicht zeigen. Dass die diskrete Metrik eine Metrik ist, darfst du doch sicherlich voraussetzen.

Fangen wir mal mit dem einfacheren Fall an: Wenn \(|V|=1\), welches Element enthält \(V\) dann? Mach dir dann mal ein paar Gedanken über mögliche Normen auf \(V\).

Answer 1

Wäre die diskrete Metrik von einer Norm induziert, dann wäre für diese

für beliebiges \(x \in V \) mit \(x \neq 0 \):

\(\|x\|=\|x-0\|=d(x,0)=1\) und

\(2\|x\|=\|2x\|=\|2x-0\|=d(2x,0)=1\), also

\(1=2\), mithin ein Widerspruch.