diskrete metrik durch Norm induziert??

Question

hallo ich bräuchte mal Tipps/Tricks oder Lösungshinweise bei einer Aufgabe...

Aufgabe: V≠∅ ein nicht-leerer Vektorraum. Für eine gegebene Norm ||•||:V→ℝ_o ⁺ nennt man die durch Vorschrift

d(x,y):=||x-y|| für x,y ∈V. Ist die diskrete Metrik durch eine Norm induziert??

danke....

Comments

Kommt drauf an, ob $|V|=1$ oder nicht...

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ist nicht angegeben...

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Dann musst du eben zwei Fälle betrachten.

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also sind sie Fälle

1.Fall |V|≠1 und 2.Fall: |V|=1 oder?

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Genau.

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und wie zeige ich des...

muss ich die Metrik Eigenschaften zeigen oder?

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Nein, die Metrikeigenschaften musst du nicht zeigen. Dass die diskrete Metrik eine Metrik ist, darfst du doch sicherlich voraussetzen.

Fangen wir mal mit dem einfacheren Fall an: Wenn $|V|=1$, welches Element enthält $V$ dann? Mach dir dann mal ein paar Gedanken über mögliche Normen auf $V$.

Answer 1

Wäre die diskrete Metrik von einer Norm induziert, dann wäre für diese

für beliebiges $x \in V$ mit $x \neq 0$:

$\|x\|=\|x-0\|=d(x,0)=1$ und

$2\|x\|=\|2x\|=\|2x-0\|=d(2x,0)=1$, also

$1=2$, mithin ein Widerspruch.