Bestimmung Grenzwert mit Wurzel n

Question

Hi Leute :)

Ich hab eine Frage nicht wegen des Wurzelzeichens, sondern wegen des ^{n+1} im Zähler und dem n^n im Nenner. Wie muss ich das auflösen?

Im Nenner könnte ich mir vorstellen, dass ich erstmal die Wurzel auflöse... Nach meiner Meinung (korrigiert mich falls falsch ist) müsste Wurzel n von 2 ja (2)^1/n sein oder? Aber wie mache ich das dann mit dem n^n?

Answer 1

Bestimmung Grenzwert mit Wurzel n

Comments

Ah wow cool danke ! :)

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Darf ich fragen wie du auf die 5 Zeile kamst?

ALso auf 1/3 lim? Das erschließt sich mir nicht ganz :/ Und is das eine 2² im Nenner beim ersten Bruch und beim 2 Bruch ein 1/2? Weil, falls ja, wie kamst du auf 2² und 1+1/2?

Achso eine im ersten Bruch müsste ja 2^1/n stehen dann ist das ein n und keine 2 oder? Aber weiß ehrlich gesaght nicht wie du auf 1/3 kommst bzw. wieso du das vor lim schreibst. Ich erkenne zwar, dass in der Zeile davor das n ausgeklammert wird, und dadurch 1/3 entsteht, aber schreibt man das dann so vor lim?

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1/3 ist eine Konstante (die 3 kommt vom 2. Ausdruck) und kann davor geschrieben werden.

Es ist (n+1)/n= n/n+1/n =1 +1/n

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Ahhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh

Jetzt hat es gezündet :D Danke Danke :D Das mit der 1/3 wusste ich noch gar nicht, dass man das so machen kann. Ist ja praktisch :D Das merk ich mir. Cool danke was gelernt heute. Direkt besser als in der Schule :D

Answer 2

wenn Du \(\frac{(n+1)^n}{n^n} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\) erkennst, ist die Aufgabe schon halb gelöst. Deichseln wir das mal so hin:

$$\lim \frac{(n+1)^{n+1}}{(3n+\sqrt[n]{2})\cdot n^n} = \lim \frac{(n+1)^n}{n^n}\cdot \frac{(n+1)}{(3n+2^{\frac1n})}=\left(1+\frac1n\right)^{n}\cdot\frac{n+1}{3n+2^{\frac1n}}$$

Das nun im Limes betrachten. Dabei ist der erste Faktor sofort als \(e\) zu erkennen. Für den zweiten Faktor erkennt man, dass Zähler und Nennergrad sich entsprechen. Der zweite Summand im Nenner wird nämlich ohnehin 0.. Wir haben also nur die Vorfaktoren der höchsten Potenzen zu berücksichtigen -> \(\frac13\).

Damit haben wir insgesamt den Grenzwert \(\to \frac e3\)

Grüße