Differenzengleichung mit Hochzahl. y_(n+2) -18y_(n+1) +81y_(n)=81×(-9)^n

Question

Gegeben ist die Differenzengleichung

Y_n+2 -18y_n+1 +81y_n=81×(-9)ⁿ

a) Man gebe die alg. Lösung der Differenzengleichung an.

b) Welche Lösung der Differenzengleichung besitzt die Startwerte y₀ = 1/2   Y₁=0

Comments

Wofür steht alg. ? Allgemein oder algebraisch?

x ist ein "mal"?

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Allgemein

Ja x steht für " mal"

MfG

Answer 1

Differenzengleichung mit Hochzahl. y_n+2 -18y_n+1 +81y_n=81×(-9)ⁿ

Anbei der Lösungsweg, Es sind dann nur noch die Startwerte einzusetzen.

Answer 2

Hi,
bestimme die homogene und inhomogene Lösung. Für die homogene Lösung mache den Ansatz \( y^H_n = \lambda^n\) Durch einsetzten und lösen der quadratischen Gleichung bekommst Du \( \lambda = 9 \) heraus. Die allg. homogen Lösung ist dann \( y^H_n = c_1\lambda^n + c_2 n \lambda^{n-1} \) s. https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Differenzengleichung

Für die inhomogene Lösung mache den Ansatz \( y^I_n = k (-9)^n \) Durch einsetzten erhältst Du \( k = \frac{1}{4} \)

Die allg. Lösung lautet dann \( y_n = y^H_n + y^I_n \)

Die Anfangsbedingungen ergeben \( y_0 = c_1+\frac{1}{4} = \frac{1}{2} \) also \( c_1 = \frac{1}{4} \) und \( y_1 = 9c_1+c_2-\frac{9}{4} \) also \( c_2 = 0 \)

Insgesamt also \( y = \frac{1}{4} \left( 9^n+(-9)^n \right)\)