Abbildungsmatrix aufstellen

Question

Das Tripel ((1,2,3) , (2,5,6) ,(-1,1,-2)) ist eine geordnete Basis B von V := R^3 Zeile . Das muss ich begründen .

Durch (1,2,3) -> (2,1,1) ,  (2,5,6) -> (1,3,4) , (-1,1,-2) -> (1,2,2) wird eine lineare Abbildung v : R^ 3Zeile -> R^ 3Zeile angegeben .

Ich muss die zugehörige Abbildungsmatrix aV,V(v) bestimmen , wobei

a) sowohl der Definitionsbereich , als auch der Zielbereich die angeordnete Basis B haben

b) der Definitionsbereich und der Zielbereich die Basis ((1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1)) tragen

c) Der Definitionsbereich die Basis ((1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1))  trägt und der Zielbereich die Basis B

d) Der Definitionsbereich die Basis B trägt und der Zielbereich ((1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1)) .

Zu a ) Ich nehme also ein bi aus B und bilde es ab , z.B : aus (1,2,3) wird (2,1,1) . Diesen Zeilenvektor stelle ich nun als Linearkombination von der Basis B dar . Zwischenfrage : Müssen dabei alle Komponenten von B in der Summe enthalten sein?

(2 1 1) = -27 *( 1 2 3) + 12(2 5 6) -5 (-1 1 -2)

u.s.w für die anderen abgebildeten Basiselemente aus B .

Und daraus gewinne ich die Koeffizienten der Abbildungsmatrix und liste sie spaltenweise auf . Ist das soweit korrekt oder geht man mit Zeilenvektoren anders um , d.h muss anders linear kombinieren oder ähnliches ?

Comments

"Zwischenfrage : Müssen dabei alle Komponenten von B in der Summe enthalten sein? "

Wenn ein Element von B fehlt, ist es 0* vorhanden. Das geht schon, wenn du eine Linearkombination finden sollst. 

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Was mache ich z.B bei der b) , bei der ich nicht weiß , worauf die Vektoren der Basis abgebildet werden ?

Answer 1

Was mache ich z.B bei der b) , bei der ich nicht weiß , worauf die Vektoren der Basis abgebildet werden ? 

Du rechnest einfach aus was du brauchst.

wenn du das Bild z.B. von ( 1 ; 0 ; 0 )

stellst du diesen durch die Basis B dar.

Das gibt ( 1 ; 0 ; 0 ) = a*(1,2,3)  +b*(2,5,6) +c*( -1,1,-2)

Dann ist das Bild, da v linear ist, einfach

v( 1 ; 0 ; 0 )= a*v(1,2,3)  +b*v(2,5,6) +c*v( -1,1,-2)