Beweise: lim(1/xn)=(1/x)

Question

Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

Sei (x_n)_n∈ℕ eine konvergente Folge reeller Zahlen mit Grenzwert x≠0. Beweise: Dann gibt es n₀ ∈ ℕ, so dass x_n ≠ 0 für alle n ≥ n₀ und lim _x→∞ (1/x_n)_n≥n0 = (1/x).

Ich finde leider überhaupt keinen Einstieg bei der Aufgabe. Vielleicht kann und mag da ja jemand helfen :-)

Answer 1

Du waehlst \(\epsilon=|x|/2\) und hast dann wegen \(x_n\to x\) $$|x|-|x_n|\le|x-x_n|<|x|/2,$$ also $$|x_n|>|x|/2>0$$ für alle \(n\ge n_0\). Fuer $$\lim1/x_n=1/x$$ rechnest Du wieder mit dieser Abschaetzung die Definition nach.

Das steht nebenbei auch in jedem Analysis-I-Buch so drin. Kauf Dir doch eines.

Comments

Danke dir für deine Hilfe :-) Ja, das mit dem Buch sollte ich wohl langsam mal machen...