Das Bild ist immer der von den Bildern einer Basis erzeugte Untervektorraum
von W.
Eine Basis für Bilf(v) ist also < b1+b2+b4 , b2-b3+b4 , b1+b3 >
Die drei erzeugen das Bild, sind aber nur dann eine Basis, wenn sie lin. unabh. sind.
Prüfung:
x*( b1+b2+b4) + y*( b2-b3+b4) + z*( b1+b3) = 0
(x+z)*b1 + ( x+y)*b2 + ( -y + z)*b3 + ( x+y)*b4 = 0
Da b1 bis b4 lin unabh. also
x+z=0 und x+y=0 und -y + z = 0 und x+y= 0
Die zugehörige Matrix hat den rang 2 , also sind nicht
alle drei sondern nur zwei von
den dreien lin. unabh., etwa
b2-b3+b4 , b1+b3
bilden eine Basis von Bild(v).
Kern:
gesucht sind also alle x aus V mit v(x) = 0
und x = x*a1 + y*a2 + z*a3 wegen der Basis von V.
f(x) = x*f(a1) + y*f(a2) + z*f(a3)
= x*( b1+b2+b4) + y*( b2-b3+b4) + z*( b1+b3)
gibt das gleiche Gleichungssystem wie vorhin
x+z=0 und x+y=0 und -y + z = 0 und x+y= 0
wegen rang = 2 ist eine Variable frei wählbar, etwa z=t
x= -t und und y = t und z=t
also die Elemente im Kern ( -t ; t ; t ) = t*( -1 ; 1 ; 1)
also ist -a1 + a2 + a3 ein Vektor, der eine Basis des Kerns bildet.
