für welche natülichen Zahlen in eine lineare Abbildung existiert

Question

Entscheiden Sie – mit Begründung – für welche natürlichen Zahlen n eine lineare Abbildung f : Rn → Rn existiert, für die gilt: Kern(f) = Bild(f). 5.pdf (25 kb)

Answer 1

Bei Abbildungen  f : Rn → Rn gilt immer

dim (Kern(f)) + dim ( Bild(f)) = n

wenn also Kern und Bild gleich sind, haben sie auch die gleiche Dimension k,

also k+k=n bzw  2*k = n  

und das geht nur wenn n gerade ist.

Comments

Ach so, vielleicht brauchst du noch ein Argument, dass dann auch
wirklich immer eine solche Abbildung existiert.

Es sein n = 2k und
v₁,...,v_k,v_k+1,...v_n eine Basis von IR^n
Eine lin. Abb. wird durch Angabe der Bilder einer Basis festgelegt.

Betrachte also die Abb.  f mit
                = f(v_k+i )        für    i ≤ k
f(v_i)  
                 =   0            für i > k

Dann sind Kern und Bild beide der von
v_k+1,...v_n   erzeugte Unterraum von IR^n .