Wie beweist man eine solche Aussage?

Question

Sei (a_n)_n eine Nullfolge und (b_n)_n eine beschänkte Folge. Dann ist auch
(a_nb_n)_n eine Nullfolge.

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https://www.mathelounge.de/287200/produkt-aus-nullfolge-und-beschrankte-folge

Lass dich inspirieren.

Answer 1

Hi,
wenn \( b_n \) eine beschränkte Folge ist, gilt \( b_n \le \alpha \) für ein \( \alpha \in \mathbb{R} \)
Da \( a_n \) eine Nullfolge ist, gilt \( |a_n| < \frac{\epsilon}{\alpha} \) für \( n > N \)
Daraus folgt \( |a_n \cdot b_n| \le \frac{\epsilon}{\alpha} \alpha = \epsilon  \)
Damit ist \( a_n \cdot b_n \) eine Nullfolge.