Gleichungssystem mit Körper F

Question

Sei $$\mathbb{K} = \mathbb{F}_2$$ der Körper mit zwei Elementen $$(d.h. \mathbb{F}_2 = {0, 1})$$

Seien $$a,b,c,d,e, f \in \mathbb{K}.$$ Sei A =  \begin{pmatrix}  a & b \\ c & d \end{pmatrix} and b = \begin{pmatrix}  e \\ f\end{pmatrix} Sei G das Gleichungssystem

$$G: A \begin{pmatrix}  X_1 \\ X_2 \end{pmatrix}=b.$$

1. Beweisen Sie, dass

$$|L(G)| \in {0,1,2,4}$$

2. Zeigen Sie, dass |L(G)| jeden Wert in {0,1,2,4} annehmen kann.

3. Was können Sie im Allgemeinen sagen, wenn $$\mathbb{K}$$ endlich st?

Answer 1

1. Es gibt 4 unterschiedliche Vektoren in dem betrachtet Vektorraum.

2. Stelle zu jeder Mächtigkeit der Lölsungsmenge ein Gleichungssystem auf.

keine Lösung: a = 0; a = 1

eine Lösung: a = 0; b = 0

zwei Lösungen: a - b = 0

vier Lösungen: 0 = 0

drei Lösungen überlasse ich dir.

Comments

bei 1. wie siehst du die 4 verschiedenen Vektoren?

Bei 2.) hast du geschrieben a=0 und a=1 sollte eines b sein oder meinst du, dass wen a =0 und wenn a=1 ist es keine lösung hat?

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> bei 1. wie siehst du die 4 verschiedenen Vektoren?

\( \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} \)

> ... dass wen a =0 und wenn a=1 ist es keine lösung hat?

Ja.

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1 verstehe ich jetzt bei 2tens komme ich nicht auf deine Lösungen. Kannst du deine Überlegungen an einem Beispiel ausführen?

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> Zeigen Sie, dass |L(G)| jeden Wert in {0,1,2,4} annehmen kann.

Übersetzt heißt das: "Zeigen Sie, dass es für jedes n∈{0,1,2,4} ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten über dem gegebenen Körper gibt, das genau n Lösungen hat".

Eine Möglichkeit, das zu beweisen ist, für jedes n∈{0,1,2,4} ein Gleichungssystem über dem gegebenen Körper anzugeben, das genau n Lösungen hat.

Für n=0 habe ich ein konkretes Gleichungssystem angegeben. Also existiert ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten über dem gegebenen Körper, das keine Lösungen hat.

Für n=1 habe ich ein konkretes Gleichungssystem angegeben. Also existiert ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten über dem gegebenen Körper, das genau eine Lösung hat.

Für n=2 habe ich ein konkretes Gleichungssystem angegeben. Also existiert ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten über dem gegebenen Körper, das genau zwei Lösungen hat.

Für n=4 habe ich ein konkretes Gleichungssystem angegeben. Also existiert ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten über dem gegebenen Körper, das genau vier Lösungen hat.

n=3 habe ich ausgelassen.