Lineares Gleichungssystem in einem Körper

Question

Hallo! Könnte mir jemand bei der folgenden Aufgabe helfen? Wäre echt nett.

Danke schon mal im Voraus

Aufgabe:

Wir können
x + 2y + 3z = 1

4x + 5y + 6z = 2

7x + 8y + 9z = 3
als ein lineares Gleichungssystem mit Koeffizienten in einem der Körper ℚ, ℤ/3ℤ oder ℤ/7ℤ auffassen. Im Fall der endlichen Körper ℤ/3ℤ oder ℤ/7ℤ vereinfacht sich unser lineares Gleichungssystem, da z.B. 3 = 6 = 9 = 0 in ℤ/3ℤ oder 7 = 0, 8 = 1 in ℤ/7ℤ gilt. Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems in ℚ^3, (ℤ/3ℤ)^3 und (ℤ/7ℤ)^3.

Answer 1

in Q:  Gauss führt auf

1   0   -1   -1/3
0   1   2    2/3
0   0    0    0

also z beliebig und  y= 2/3 - 2z und x=-1/3 + z

==> Lösungen sehen so aus (-1/3 + z ;  2/3 - 2z ; z )

über ℤ/3ℤ fängt es an mit

1     2    0    1
1     2    0    2
1    2     0    0

und man sieht sofort: Es gibt keine Lösungen.

über ℤ/7ℤ fängt es an mit  

1   2   3   1
4   5   6   2   | -4* 1. Zeile
0  1   2    3

1  2  3  1
0  4  1  5      | -4* 3. Zeile
0  1  2   3

1  2  3  1
0  0  0  0      
0  1  2  3

also wieder z beliebig und

y= 3 - 2z   und x=2+z