Quadratische Funktion und Taylorapproximation

Question

Aufgabe:

Von einer Funktion f : R+ -> R ist bekannt, dass sie in x₀ = 1 eine Nullstelle hat, ihre erste Ableitung in x0 den Wert 2 besitzt und die zweite Ableitung in x₀ das Negative der ersten Ableitung ist.

(a) Bestimmen Sie eine Polynomfunktion p vom Grad 2, die die unbekannte Funktion f im
Punkt x0 am besten approximiert.

(b) Eine Messung ergibt, dass f(2) = 2 ln(2).Wie groß ist der Unterschied zur Approximation?

(c) Angenommen f(x) = 2 ln(x). Ist ein bestapproximierendes Polynom in x0 von Grad 3
ausreichend, um den Unterschied bei x = 2 geringer als 0:2 werden zu lassen?

(d) Was müsste man machen, um die Genauigkeit noch weiter zu erhöhen?

Problem/Ansatz:

Hallo in die Runde! Erstmals vielen Dank für eure Zeit und die Beantwortung meiner Frage!

Gegeben ist das folgende Beispiel mit Lösungen aber leider ohne Lösungsweg, weshalb ich leider nicht jeden Schritt in der Lösungsfindung verstehe. Deshalb würde ich mich über einen konkreten Lösungsweg freuen!

Als Lösung ist gegeben:

a.)  p(x) = T_f,1,2 (x) = 2(x-1)-(x-1)²

b.) 0,386294

c.) Nein.

d.) Den Grad des Taylorpolynoms erhöhen.

Schwierigkeiten habe ich vor allem mit der Erstellung der Funktion in Aufgabe a und der Antwort in Aufgabe d (Verständnisschwierigkeiten)

Comments

Ich vermute, dass die Lösungsvorschläge an der Erwartung des Aufgabenstellers vorbeigehen: Du sollst die allgemeine Struktur der Taylorapproximation kennen und die Lösung für a ohne Rechnung "sofort" hinschreiben.

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Wurde gerade durch die Lösung von T erledigt.

Answer 1

Aloha :)

zu a) Das Taylor-Polynom \(n\)-ter Ordnung einer Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_0\) lautet:$$f(x)=\frac{f(x_0)}{0!}+\frac{f'(x_0)}{1!}\cdot(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}\cdot(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\cdot(x-x_0)^n$$

Wir brauchen sie hier nur bis \(n=2\) und haben alle nötigen Werte gegeben:$$\pink{x_0=1}\quad;\quad \green{f(x_0)=0}\quad;\quad \red{f'(x_0)=2}\quad;\quad \blue{f''(x_0)=-2}$$Einsetzen ergibt:$$f(x)=\frac{\green0}{1}+\frac{\red2}{1}\cdot(x-\pink1)+\frac{\blue{-2}}{2}\cdot(x-\pink1)^2=2(x-1)-(x-1)^2$$

zu b) Die Messung liefert \(f_{\approx}(2)=2\ln(2)\). Die Abweichung zum tatsächlichen Funktionswert beträgt:$$a=\left|\green{f_{\approx}(2)}-\red{f(2)}\right|=\left|\green{2\ln(2)}-\red{1}\right|\approx0,386294\ldots$$

zu c) Hier müssen wir zuerst \(f(x)=2\ln(x)\) durch ein Taylor-Polynom 3-ter Ordnung annähern. Als Entwicklungspunkt halten wir am obigen \(x_0=1\) fest:$$f(x)=2\ln(x)\implies f(1)=0$$$$f'(x)=\frac2x\implies f'(1)=2$$$$f''(x)=-\frac{2}{x^2}\implies f''(1)=-2$$$$f'''(x)=\frac{4}{x^3}\implies f'''(1)=4$$Das ergibt folgendes Taylor-Polynom:$$f(x)=\frac01+\frac21(x-1)+\frac{-2}{2}(x-1)^2+\frac46(x-1)^3=2(x-1)-(x-1)^2+\pink{\frac23(x-1)^3}$$Im Vergleich zum Taylor-Polynom 2-ter Ordnung aus Teil a) kommt nur noch der pinke Term hinzu. Die Differenz zum gemessenen Näherungswert \(f_{\approx}(2)=2\ln(2)\) beträgt nun:$$a=\left|\green{f_{\approx}(2)}-\red{f(2)}\right|=\left|\green{2\ln(2)}-\red{\frac53}\right|\approx0,280372\ldots>0,2$$Die Abweichung ist größer als \(0,2\).

zu d) Zur Erhöhung der Genauigkeit kann kann man (1) den Grad \(n\) des Taylor-Polynoms weiter erhöhen oder (2) den Entwicklungspunkt \(x_0=1\) näher an die erwarteten \(x\)-Werte (hier im Beispiel \(x=2)\) heranbringen.

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Hey Tschakabumba,

Danke dir vielmals für die echt tolle und detaillierte Antwort!

Ich habe es nun verstanden!

Answer 2

f(x)=ax²+bx+c also (1) 0=a+b+c

f '(x)=2ax+b   also (2) 2=2a+b

f ''(x)= 2a        Also (3) 2a =-2

Löse das System (1),(2),(3)

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Danke für deine Antwort!

Answer 3

Von einer Funktion f : R+ -> R ist bekannt, dass sie in
"x₀ = 1 eine Nullstelle hat, ihre erste Ableitung in x₀ den Wert 2 besitzt und die zweite Ableitung in x₀ das Negative der ersten Ableitung ist."

x₀ = 1 eine Nullstelle:

\(f(x)=a*(x-1)*(x-N)\)

erste Ableitung in x₀ den Wert 2:

\(f´(x)=a*[(x-N)+(x-1)]=a*[2x-N-1]\)

\(f´(1)=a*[2-N-1]=a*[1-N]=2\)→\(a= \frac{2}{1-N} \)

in x₀ das Negative der ersten Ableitung ist:

\(f´´(x)=2a\)    \(2a=-2\)     \(a=-1\)   → \(-1= \frac{2}{1-N} \) → \(1= \frac{2}{N-1} \)→ \(N=3 \)

\(f(x)=-(x-1)*(x-3)\)

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Danke für die graphische Repräsetation

Answer 4

d)

Je höher der Grad des Taylorpolynoms, desto besser die Approximation...

interaktive Online-Demo z.B. bei https://demonstrations.wolfram.com/TaylorSeries/