Irrationale Zahlen vs. rationalen Zahlen: Nachkommastellen periodisch?

Question

Ich habe mir heute aus Vergnügen einige Ihrer Lektionen zu Gemüte geführt und bin begeistert. Diese sind einfach, verständlich und haben passende Beispiele.

Lese gerade den Artikel "Irrationale Zahlen" und habe eine Frage hierzu:

"Merkmale rationaler Zahlen

Die rationalen Zahlen beinhalten fast alle Zahlen, die ein Schüler bis zur 10. Klasse kennenlernt. Sie haben folgende Merkmale:

1. Sie sind als Bruch darstellbar (z. B. 1 = 1/1 oder 0,5 = 1/2 oder 3,25 = 13/4)
2. Sie haben keine, endlich viele oder unendlich viele Nachkommastellen (Beispiele: keine Nachkommastellen: 2 = 2/1, endlich viele Nachkommastellen: 1,5 = 3/2, unendlich viele Nachkommastellen: 1/3 = 0,3333... = 0,3)
3. Wenn die Zahl Nachkommastellen hat, können diese periodisch sein. "

Gibt es eine rationale Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen, die nicht periodisch ist? Falls nein (meines Wissen nach ein Merkmal irrationaler Zahlen), müsste 3. nicht lauten "Wenn die Zahl unendlich viele Nachkommastellen hat, müssen diese ab einer gewissen Stelle periodisch sein."

Sonst würden 2. und 3. nahelegen, dass es auch rationale Zahlen mit unendlichen vielen nichtperiodischen Nachkommastellen gibt.

Periodisch steht ja schon für unendlich viele Nachkommastellen, oder?

Answer 1

Gibt es eine rationale Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen, die nicht periodisch ist? 

Ja: \( \frac{1}{8} = 0,125 \)

Eine rationale Zahl ist abbrechend oder hat eine Periode.

Unendlich viele Nachkommastellen ohne periode haben nur die irrationalen Zahlen.

Siehe dazu eventuell auch https://www.mathelounge.de/162585/nachweisen-rationale-periodisch-irrationale-periodisch

Comments

Ist nicht die Periode die Null (die Nullen) hinter dem 5er? Wenn wäre 0.125 bzw. eine 0 Periode abbrechend.

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1/8 = 0.125 ist abbrechend. man spricht hier nicht von einer Periode

1/9 = 0.111... hier hat man unendlich viele Einsen und darum sagt man Periode 1.

pi = 3.141592653... hier fangen die Nachkommastellen sich nicht irgendwann an zu wiederholen. Hier hat man also unendlich viele Nachkommastellen ohne eine Periode.

Letzteres ist aber eine irrationale Zahl und keine rationale.

Rationale Zahlen können nur abbrechen oder eine Periode haben.