Linearisieren einer Gleichung

Question

Ich habe folgende Aufgabe in einer Aufgabensammlung gefunden, zu welcher ich jedoch keine Lösungen habe. Wie kann man das auf den gewünschten Ausdruck bringen?

Answer 1

Hi,
$$ \frac {\Delta E}{1+e^{\beta \Delta E} } = \Delta E \frac{1}{2+\left( e^{\beta \Delta E} -1 \right)} = \frac{\Delta E}{2} \frac{1}{1 + \frac{e^{\beta \Delta E} -1}{2}} \approx \frac{\Delta E}{2} \left( 1 - \frac{e^{\beta \Delta E} -1}{2} \right) \approx \frac{\Delta E}{2} \left( 1 - \frac{ \beta \Delta E }{2} \right)  $$

Einmal habe ich \( \frac{1}{1+x} \approx 1 - x \) benutzt und zum zweiten \( e^x \approx 1 + x \) falls jeweils \( x \ll 1\) gilt.