Aufgabe:
Hallo alle Zusammen,
ich lerne gerade für meine DGL Prüfung und bin irgendwie mit der Linearisierung absolut überfordert...ich lerne mit Gepros und komme da gerade nicht weiter..
Die DGL ist folgenden
x''+x'+x^3=0
ich weiß bisher die Ruhelage ist bei 0.
Dann wird nach der Stabilität gefragt und das man Kriterien dazu nennen soll.
Dann steht da: "hier nicht anwendbar also linearisieren."
"eigenwerte der Matrix der Linearisierung betrachten, Stabilitätsaussage treffen"
Ich hab irgendwie keine Ahnung wie ich das tun soll.
Das Kriterium das wir dazu haben habe ich mal angehangen. Kann mir da bitte jemand helfen?
Text erkannt:
4.3 Stabilitht nichtlinearer Systeme
Will man nun allgomaine nichtlinase Systeme auf Stabilitat untersuchen, kann man versuchon die Resultate für die linsaren Systeme mittels Thyylor-Eatwicklung zu über\( \mathrm{~ t r a g g e n . ~ D i e s ~ g c h t ~ w a c h ~ b i s ~ n u ~ c i n c e n ~ g r e w i s a n t ~} \)
Wir betruchten autoname nichtlineare Systeme der Form
\( \dot{u}-f(u), \quad \text { mit } f(D)-D, \)
wobci \( u \in \mathbb{R}^{n} \) und \( f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{\mathrm{w}} \). Der Nullpunkt ist ein singularcr Punkt, desacn
4.3 Stabilität nichitinearer Systeme,
Abbildung \( 6: A_{C}(\alpha, \beta) \) mit \( \alpha<0 \) und \( \alpha>0 \)
un 0 und erhalten
\( f(u)=\underset{-D}{f(0)}+\nabla f(D) u+g(u) \)
mit \( g(\mathrm{u})-O\left(|\mathrm{u}|^{2}\right) \). Dicse Linearisierung fuhtrt uns auf die Difforentinlglaichung
\( \dot{\bar{u}}-\nabla f(D) u+g(u)-A u+g(u) \)
mit \( g \) klein in der Nahe dis Fipunkter. Diss ist cine Difforentinlglaichung mit lincarem Haupttail Au und 'kleincr' Nichtlinearitīt in der Nahe dos Fixpunktes.
Der nächste Satz gibt num A Askunat über dass Stabilitätsvarhalten der Diffrcentialgleichung mit lincarem Haspetcil
\( \dot{u}-A u+g(u) . \)
Theorem 4.14 (Stabilitutusatz). Die Funktion \( g(z) \) sei farr \( |z| \leq \alpha \) stefig wnd
\( \lim \limits_{|x| \rightarrow D} \frac{|g(z)|}{|z|}-D \text { glcichmajpig } \)
insbesondere \( g(\mathrm{~d})-0 \). Dic Matrix \( A \) sei konstant und
\( \text { Re } \lambda \subset D \quad \forall \lambda \in \sigma(A) \)
Dann ist \( u=0 \) asgmptotisch sfabile Läsung von (4.9).
Text erkannt:
Theorem \( 4.12 \) (Stahilitatssatz). Es sei \( \gamma-\max \{\mathrm{Re} \lambda: \lambda \in \sigma(A)\} \). Die triviale Läsngng \( \mathbf{u}=\mathbf{0} \) der \( D C L(4.8) \) ist im \( F \mathrm{all} \)
\( \gamma \propto 0 \) asymptofiseh stabil,
\( \gamma>0 \) instabui,
\( \gamma=0 \) nicht asymptotiseh stabul, jedoch stabill genau dann, wern alle Eigenwerte \( \lambda \) mit Re \( \lambda-0 \) gleiche algebraische und goometrische Vielfachheit haben.
