Zeigen Sie unter Verwendung der Grenzwertfunktion

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie unter Verwendung der Grenzwertdefinition \( (\epsilon-\mathrm{N}(\varepsilon)) \), dass gilt:

a) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2 n^{2}}=0 \)

b) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{4 n}{12 n-7}=\frac{1}{3} \)

Answer 1

 (du meinst wohl die Grenzwertdefinition)

a)  

zu zeigen:   lim(n→∞)  1/(2n²) = 0

Sei ε ∈ ℝ⁺ beliebig aber fest.

Wähle N(ε) :=   √[1/(2ε)]   (ergibt sich am Schluss)

dann gilt für n > N(ε) :  | a_n - 0 | < ε , denn

| 1/(2n²) - 0 | < ε  ⇔ 1/(2n²)  < ε ⇔ n² > 1/(2ε) ⇔ n >  √[1/(2ε)]    q.e.d

b)        

zu zeigen:  lim(n→∞)   \(\frac{4n}{12n-7}\) =  \(\frac{1}{3}\) 

Sei ε ∈ ℝ⁺ beliebig aber fest.

Wähle N(ε) :=    \(\frac{1}{36}\)· (\(\frac{7}{ε}\) + 21) (ergibt sich am Schluss)

dann gilt für n > N(ε) :  | a_n - \(\frac{1}{3}\) | < ε , denn

| \(\frac{4n}{12n-7}\)  -  \(\frac{1}{3}\) |  =  | \(\frac{12n-(12n-7)}{3·(12n-7)}\) | =  | \(\frac{7}{36n-21}\) | = \(\frac{7}{36n-21}\) 

und damit  \(\frac{7}{36n-21}\) < ε   ⇔ n > \(\frac{1}{36}\)· (\(\frac{7}{ε}\) + 21)   q.e.d.

Gruß Wolfgang