Nullstellen des Polynom bestimmen. p(z) = z^4 −2z^3 +2z^2 −10z+25

Question

z4 −2z3 +2z2 −10z+25

Bestimmen Sie alle weiteren Nullstellen des Polynoms.

Kann mir jemand erklären, wie ich auf alle Nullstellen komme?

Answer 1

Du sprichst von "allen weiteren" Nullstellen? Ist damit zumindest eine Nullstelle angegeben?

Falls ja, direkt die Polynomdivision durchführen. Andernfalls muss geraten werden. Hierbei kann wohl angenommen werden, dass auch komplexe Nullstellen mit von der Partie sind. Hier findet man z_(1) = 2+i. Damit ist automatisch auch das komplex konjugierte eine Nullstelle: z_(2) = 2-i.

Insgesamt haben wir also (z-z_(1))(z-z_(2)) = (z^2-4z+5) mit dem wir eine Polynomdivision durchführen können.

(z^4-2z^3+2z^2-10z+25)/(z^2-4z+5) = z^2+2z+5

Nun bspw. pq-Formel bemühen und es ergibt sich

z_(3) = -1-2i

z_(4) = -1+2i

Grüße

Comments

die vorgegebene Nullstelle ist z1 = −1 + 2i

müsste ich dann also eine Polynomdivision mit 

(z⁴-2z³+2z²-10z+25)/(−1 + 2i) durchführen zuerst ?

 

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Wie gesagt, die komplex konjugierte ist ebenfalls Nullstelle. Gehe vor wie ich. Ist reell und damit einfacher ;).