Ableitung von 1/wurzel(x) mit der H-Methode berechnen:

Question

Hallo liebe Leute, ich grübel nun über einer weiteren Aufgabe:

Ich muss die Ableitung der Funktion

\( f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} \)

mit der H-Methode berechnen. Nun hab ich aufgestellt (ich lasse hier den lim h->0 erstmal weg):

  \( \frac{\frac{1}{\sqrt{x+h}}-\frac{1}{\sqrt{x}}}{h}=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+h}}{\sqrt{x} * \sqrt{x+h}} \cdot \frac{1}{h}\)

habe ich beim erweitern des Bruches einen Fehler gemacht? Oder kann ich jetzt ergänzen mit:

  \( \frac{\sqrt{x}-\sqrt{x+h}}{\sqrt{x}-\sqrt{x+h}} \)

Answer 1

Alles richtig bis jetzt. Beim Ergänzen würde ich ein + zwischen die Wurzel setzen.

Comments

Jetzt komme ich also durch ausmultiplizieren auf:

Jetzt steh ich aber sehr aufm Schlau, hab ich was falsch gemacht, oder was muss ich jetzt weiter machen?

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Dann ist doch alles klar:

Das h kannst du kürzen, dann bleibt im Zähler nur  -1

und im Nenner für h gegen 0

x * √x + √x * x   = 2*x *  √x

Also insgesamt  f ' (x)  =   -1 /  ( 2*x*√x) 

und das ist richtig.

Answer 2

du musst mit \(\frac{√x+√(x+h)}{√x+√(x+h)}\)  multiplizieren.

[ erweitert wird dabei mit  √x+√(x + h) ]

Gruß Wolfgang