Das ist ja von der Form f(x) = g(x) h(x) mit g(x) geht gegen 1 und h(x) geht gegen unendlich.
Also der Typ "1 hoch unendlich" und da versucht man erst mal, auf die klassische
Form der Anwendung des d'Hospital zu kommen, indem man
ln ( f(x)) = ln ( g(x) h(x) ) = h(x) * ln ( g(x) ) betrachtet. Das hat dann den Typ "unendlich * 0 "
und wenn man das als ln ( g(x) ) / ( 1 / h(x) ) schreibt, ist es der gewünschte Typ 0 / 0.
Hier wäre das also ln( f(x) ) = ln ( (2/pi) * arctan(x) ) / ( 1 / x ) )
dann liefert d'Hospital ( 1 / ( (2/pi) * arctan(x) ) * (2/pi) * ( 1 / ( 1 +x^2 ) ) / ( -1 / x^2 )
= ( (2/pi) * ( 1 / ( 1 +x^2 ) / ( arctan(x) ) * (2/pi)) ) * ( - x^2 )
= ( (2/pi) * ( - x^2 / ( 1 +x^2 ) / ( arctan(x) ) * (2/pi)) )
und das hat für x gegen unendlich den Grenzwert
2/pi * ( -1) / ( ( pi/2) * (2/pi))
= -2 / pi
Das war aber nun der GW von ln ( f(x) ) also hat
f(x) den GW e -2 / pi .