Da der Hinweis der geometrischen Folge gegeben war, bin ich davon ausgegangen, dass ihr ihren Grenzwert bereits behandelt habt. Für Zahlen größer als eins wird die Folge q^n beliebig groß, für Zahlen zwischen minus eins und eins wird sie beliebig klein. Also ist ihr Grenzwert für -1<q<1 gleich null, für q=1 oder q=-1 gleich 1 (1^n=1 für alle natürlichen n) und für q<-1 springt sie zwischen beliebig großen und beliebig kleinen Werten hin und her. (-10^10 z.B. ist positiv, weil gerade Hochzahl, und sehr sehr groß, -10^11 ist dann wieder negativ und betragsmäßig nochmal zehnmal so groß).
Ja, es gibt zwei Gründe, wieso eine Folge nicht konvergiert: Entweder wird sie unendlich groß (oder klein, im Sinne von "gegen minus unendlich", klein im Sinne von "gegen Null" ist erlaubt) oder sie springt zwischen mehreren Werten hin und her. In letzterem Fall werden die Werte, zwischen denen sie hin und her springt, als "Häufungspunkte" bezeichnet.
Also hast du drei Fälle (x=0 ist nicht erlaubt, also lass ichs mal weg):
$$1.)\ 0<\frac1{x^2}<1\colon\lim_{n\rightarrow\infty}\frac2{x^{2n}}+2=2\cdot0+2=2\\2.)\ \frac1{x^2}=1\colon\lim_{n\rightarrow\infty}\frac2{x^{2n}}+2=2\cdot1+2=4\\3.)\ \frac1{x^2}>1\colon\lim_{n\rightarrow\infty}\frac2{x^{2n}}+2=2\cdot\infty+2=\infty $$
Das kann man noch umschreiben, sodass x explizit dasteht, dann hast du:
$$1.)\ -1<x<0\vee0<x<1\colon\lim_{n\rightarrow\infty}\frac2{x^{2n}}+2=2\cdot\infty+2=\infty\\2.)\ x=1\vee x=-1\colon\lim_{n\rightarrow\infty}\frac2{x^{2n}}+2=2\cdot1+2=4\\3.)\ x>1\vee x<-1\colon\lim_{n\rightarrow\infty}\frac2{x^{2n}}+2=2\cdot0+2=2 $$
