Grenzwertbestimmung der Folge an = n + sin (n2)/ 2n

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Grenzwert lim _{n--> unendlich} =: a der Folge a_n  und n Element der natürlichen Zahlen.

a_n = n + sin (n²)/ 2n

Problem/Ansatz:

Hier müsste ich den Ausdruck ja auf so eine Form bringen, dass ich n kürzen kann und dann sehe gegen welchen Wert die Folge konvergiert... aber wie mache ich das? Stecke ziemlich bei dem Thema (habe eine Prüfung und bereite mich vor) und würde mich über Hilfe sehr freuen!

Comments

Ist das \(\displaystyle a_n=\frac{n+\sin(n^2)}{2n}\) die Folge?

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ja, genau!!!

Answer 1

Aloha :)

$$-1\le\sin(n^2)\le1\stackrel{1}{\implies}-\frac{1}{2n}\le\frac{\sin(n^2)}{2n}\le\frac{1}{2n}\stackrel{2}{\implies}$$$$\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}\le\frac{1}{2}+\frac{\sin(n^2)}{2n}\le\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}\stackrel{3}{\implies}$$$$\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}\le\frac{n+\sin(n^2)}{2n}\le\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}\stackrel{4}{\implies}$$$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}\right)\le\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n+\sin(n^2)}{2n}\right)\le\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}\right)\stackrel{5}{\implies}$$$$\frac{1}{2}\le\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n+\sin(n^2)}{2n}\right)\le\frac{1}{2}\stackrel{6}{\implies}$$$$a\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n+\sin(n^2)}{2n}\right)=\frac{1}{2}$$

1) Division aller 3 Terme durch \(2n\).

2) Addition von \(\frac{1}{2}\) zu allen 3 Termen.

3) Den Term in der Mitte auf den Hauptnenner gebracht und addiert.

4) Limes davor geschrieben.

5) Limes links und rechts gebildet.

6) Grenzwert nach dem Sandwich-Kriterium abgelesen.

Comments

darf ich fragen, wie du auf die einzelnen Schritte kommst? Also das ist bestimmt das Sandwich - Kriterium. Aber ich verstehe nicht, wie man auf die zweite Zeile kommt :( wo ist da das n im Zähler geblieben und wie komm ich auf ein halbes?

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Ich habe ein paar Kommentare zu den Rechenschritten ergänzt. Schau mal, ob es jetzt klarer wird ;)

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Meeeeega Hilfe! Wahnsinn! Danke vielmals!

Nur eine kurze Frage - beim zweiten Schritt erfolgt ja die Addition von 1/2 zu allen Termin... warum? Wie komm ich da selbst darauf? :(

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Das habe ich "rückwärts" zusammengebaut. Wir wissen ja, wo wir hin wollen. Wir brauchen den Term$$\frac{n+\sin(n^2)}{2n}$$Den habe ich im Kopf zerlegt in:$$\frac{n}{2n}+\frac{\sin(n^2)}{2n}=\frac{1}{2}+\frac{\sin(n^2)}{2n}$$Das Problem ist hier, dass der Sinus Werte zwischen \(-1\) und \(1\) annehmen kann, deswegen bin ich in der ersten Ungleichung davon ausgegangen:$$\frac{1}{2}+\frac{\boxed{\sin(n^2)}}{2n}$$und habe dann die Division durch \(2n\) und die Addition von \(\frac{1}{2}\) durchgeführt.

Langer Rede kurzer Sinn, du hast einen Zielterm und eine Start-Abschätzung. Diese Abschätzung musst du dann Schritt für Schritt zu dem Zielterm erweitern.