Grenzwertbestimmung Funktion n gegen gegen Unendlich

Question

Aufgabe:

Hallo Ich bräuchte Hilfe bei der Grenzwertbestimmung von diesen Aufgaben

a)$$\lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n})$$

b)$$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}+1}{n^{2}-1}$$

c)$$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{3}}{\left(\begin{array}{l}{n} \\ {3}\end{array}\right)}$$

Problem/Ansatz:

Problem ist das ich irgendwie keinerlei Ansatz finde. Kann mir das bitte  jemand erklären, mit Rechenweg?

Danke

Answer 1

Hi Stoney,

bei (a) gibt es diesen 'Erweitere zur 3.binomischen Form'-Trick. Geht so:$$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n} \right) \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{n + \sqrt n - n}{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n}} \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt n}{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n}} \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt n}}+ 1} \\ = \frac 12$$

zu (b) siehe Rolands Antwort oder auch$$\lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}+1}{n^{2}-1} \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2-1+2}{n^2-1} \\ = \lim_{n \to \infty}1+ \frac{2}{n^2-1} \\ = 1$$

und bei (c) muss man es mehr oder weniger nur ausrechnen .. $$\lim _{n \to \infty} \frac{n^{3}}{\left(\begin{array}{l}{n} \\ {3}\end{array}\right)} \\ = \lim _{n \to \infty} \frac{n^3}{\frac{n!}{(n-3)! \cdot 3!}} \\ = \lim _{n \to \infty} \frac{n^3 \cdot (n-3)! \cdot 6}{n!} \\ = \lim _{n \to \infty} \frac{n^3 \cdot 6}{n(n-1)(n-2)} \\ = \lim _{n \to \infty} \frac{n^3 \cdot 6}{n^3 - 3n^2 +2n} \\ = \lim _{n \to \infty} \frac{6}{1 - 3 \frac 1n +2 \frac 1{n^2}} \\ = 6$$

Comments

Dankeschön

Jetzt wo ich es sehe, da hätte ich draufkommen können.

Answer 2

Setze sehr große Zahlen ein, dann siehst du den Grenzwert.

Bei b) kann man vorher umformen zu \( \frac{n^2+1}{n^2-1} \) =\( \frac{1+1/n^2}{1-1/n^2} \)