Grenzwert von 2 Folgen Beweisen

Question

Hallo ich habe folgende Aufgabenstellung:

Zuerst einmal kann man sagen die Folgen sind Konvergent weil ein Grenzwert existiert von den jeweiligen Folgen. Es ist jetzt zu zeigen das |an/bn -a/b|<epsilon sein soll ( wobei epsilon eine beliebige reelle Zahl >0 ist)

Mir ist klar ich brauche für |an-a| und |bn-b| jeweils ein epsilon sodass sich diese zwei epsilon bei|an/bn -a/b| wieder zu einem epsilon zusammenfügen.

Ich denke ich muss |an/bn -a/b| irgendwie erweitern mit etwas was 0 ist und es nicht verändert sodass ich meine Definitionen |an-a| und |bn-b|benutzen kann und diese dann einem beliebig gewählten epsilon in < Relation setze.

Könnte mir jemand helfen wie ich das angehe?

Answer 1

zuerst musst du mal zeigen :

Es gibt ein k ......

Das kann man so zeigen: Da b_n gegen b geht, und b ≠ 0 ist, gibt es z.B. für

eps = 0,5*|b| ein N, so dass für alle n >N  an aus U _eps (b)

Da U _eps (b)die 0 nicht enthält ist dieses N das gesuchte k.

Und für n>k kann man also b_n auch im Nenner haben:

|an/bn -a/b|<eps

|b*an/(b*bn ) - (b*a )/(b*bn ) + (b*a )/(b*bn ) -  a*b_n/( b*bn) |<eps

|b*an/(b*bn ) - (b*a )/(b*bn ) + (b*a )/(b*bn ) -  a*b_n/( b*bn) |<eps

|b* (an - a ) /(b*bn ) + a * (  b-*b_n ) /( b*bn) |<eps

und jetzt noch etwas mit Dreiecks ungleichung und so, müsste klappen.

Comments

Danke für die Antwort erstmals.

DIe Dreiecksungleichung lautet:|a+b|<=|a|+|b| , das heißt also

|b* (an - a ) /(b*bn ) + a * (  b-b_n ) /( b*bn) |<eps

<=|b* (an - a ) /(b*bn ) |+ |a * (  b-b_n ) /( b*bn) |<eps

=|b/(b*bn)|*|an-a| +|a/(b*bn|*|b-bn|

jetzt müsste ich hier 2 eps generieren die >0 sind und die sich wieder zu einem eps zusammenfügen.

zb (eps/2)*b*bn/b>(an - a )

und (eps/2)*(b*bn/a)>(b-bn)

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Ja, passt doch.

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Noch eine Blöde Frage , was bedeutet das U _eps (b) ?