Schnittpunkte von zwei Funktionen

Question

ich komme direkt zur Sache.

Ich soll die Schnittpunkte von zwei Funktionen berechnen. Theoretisch weiß ich auch wie, man setzt die beiden gleich und löst dann nach x auf. Theoretisch also nicht wirklich schwierig, aber bei dieser Aufgabe häng ich nun.

g(x)=1/(1+x^2)-1/2 und h(x)=x^2-1

Plottet man die Funktion sieht man, dass sie sich bei -1 und 1 schneiden, aber ich komme rechnerisch auf keinen grünen Zweig irgendwie.

Könnte mir jemand helfen?

Schon mal vielen Dank an alle und noch einen schönen Sonntag Abend!

Answer 1

Schnittpunkte von zwei Funktionen

Answer 2

$$g(x)=\frac 1{1+x^2}-\frac 12\text{ und }h(x)=x^2-1\\g(x)=h(x)\Leftrightarrow \frac 1{1+x^2}-\frac 12=x^2-1\quad |\cdot2(x^2+1)\\2-(1+x^2)=2(x^2-1)(x^2+1)\\1-x^2=2(x^4-1)\\2x^4+x^2-2-1=0$$Dies ist eine sogenannte biquadratische Gleichung, auf die Lösung kommt man, indem man x^2 durch z.B. u ersetzt und erstmal u ausrechnet: $$2u^2+u-3=0\\u_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+4*3*2}}4=\frac{-1\pm5}4\Leftrightarrow u=1 \vee u=-\frac32$$Also ist x^2=1 oder x^2=-3/2. Damit kommst du sicher auf die vier möglichen x. Aber Vorsicht: Nicht alle x sind Lösungen und nicht alle sind im Definitionsbereich.

Comments

Das gute ist, dass ich nach der Rücksubstitution aufgehört hatte, weil mir das komisch vorkam dass ich zwei verschiedene Werte raus hatte. Das eine davon eine komplexe NS ist, der Gedanke kam mir irgendwie nicht... :-/

Ich danke Euch beiden für die Hilfe!