f(x) = - x^3 + 3x^2. Fläche zwischen x-Achse und Kurve mit einer Parallelen zur y-Achse halbieren.

Question

Kann mir jemand bitte diese Aufgabe lösen? Mit genauem Rechenweg bitte:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = -x^3 + 3x^2. Zerlegen Sie die Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse einschließt, so durch eine Parallele zur y-Achse, dass zwei Flächen mit demselben Flächeninhalt entstehen.

Answer 1

Skizze: ~plot~-x^2(x-3);x=2;x=1.7~plot~

Irgendwo im Bereich der roten und grünen vertikalen Linien liegt die Linie, die gesucht wird. 

f(x) = -x^3 + 3x^2 = -x^2(x-3)

Nullstellen x1 = 0 (doppelt) und x2 = 3 (einfach).

Eingeschlossenes Flächenstück.

A = ∫_(0)^3 -x^3 + 3x^2 dx

= -1/4 x^4 + x^3 |_(0)^3 

= -1/4 * 81 + 27

= - 20.25 + 27

= 6.75

Comments

6.75/2 =  ∫_0^{b} -x³ + 3x² dx

= -1/4 x⁴ + x³ |₀^b 

= -1/4 b^4 + b^3 = 6.75/2     | * 4 

  - b^4 + 4b^3 = 6.75*2 


  b= 1.84282    liegt im Bereich, der in Frage kommt. b kann numerisch bestimmt werden.  Vgl.  https://www.wolframalpha.com/input/?i=+-+b%5E4+%2B+4b%5E3+%3D+6.75*2

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den letzten Schritt habe ich nicht verstanden  - b⁴ + 4b³ = 6.75*2  b= 1.84282 

wie wandelt man das um ?

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Da nimmt man einen (programmierbaren) Taschenrechner oder man benutzt ein numerisches Verfahren. Z.B. das Newtonverfahren. 

Answer 2

es gibt eine Stelle, nenne ich sie a, an dieser Stelle verläuft deine Parallele zur y-Achse

zu lösen ist

Integral (untere Grenze 0, obere Grenze a) -x^3+3x^2 dx = Integral (untere Grenze a, obere Grenze 3) -x^3+3x^2 dx

Comments

Wieso kommt ... = Integral (untere Grenze a, obere Grenze 3) -x³+3x² dx

Muss ich das gleichsetzen ? Und woher kenne ich die Grenzen?

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0 und 3 sind die Nullstellen der Funktion, berechne sie (siehe Skizze) an der Stelle a (so habe ich sie genannt) liegt die besagte Parallele

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Hier nochmal Isomorphs Idee in Schönschrift. Dann war meine Arbeit nicht umsonst.

$$f(x)=-x^3+3x^2$$

Nullstellen erkennen: f(x)= \(-x^2(x-3)\)

\(x_{1,2}=0\) und \(x_3 =3\)

Integrieren:

$$\int_0^a -x^3+3x^2dx=\int_a^3-x^3+3x^2dx\\ \left[-\frac{x^4}{4}+x^3\right]_0^a=\left[-\frac{x^4}{4}+x^3\right]_a^3\\ -\frac{a^4}{4}+a^3=-\frac{3^4}{4}+3^3-\left(-\frac{a^4}{4}+a^3\right)\\ -\frac{a^4}{2}+2a^3=\frac{27}{4}\\$$

Nullstellen sind nur numerisch zu ermitteln.

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Danke schön ..ist das aber das Endergebnis?

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Nein du musst noch diejenigen a ermitteln, für welche die Gleichung stimmt.

 Das funktioniert am einfachsten mit einem numerischen Verfahren. z.Bsp. Intervallhalbierung