Quadratische Ergänzung ohne Taschenrechner?

Question

Wie berechne ich das ohne Taschenrechner und nur mit der quadratischen Ergänzung ?

 

3x²-8x-3= 0

Comments

Du musst die Gleichung auf folgende Form bringen:

$$ 0 = x^2 + 2\cdot b \cdot x + b^2 + a $$

sodass mit binomischer Formel gilt.

$$ 0 = (x+b)^2 +a $$

Dazu musst Du Dir überlegen, wie c aussehen muss, damit Du auf die Form kommst.

Der Ansatz wäre

$$ \begin{aligned} 0 &=& 3x^2 -8x -3 \qquad | : 3 \\ 0 &=& x^2 -\frac{8}{3} x -1 \end{aligned} $$

jetzt fehlt noch der Zusatz  mit c = 1/2* b sodass

$$ \begin{aligned} 0 &=& x^2 -\frac{8}{3} x + c ^2-c^2 -1 \end{aligned} $$

Answer 1

3x² - 8x - 3= 0  | + 3 | : 3

x² - 8/3 • x = 1

Auf beiden Seiten "quadratisch ergänzen:   +  ( Hälfte des Faktors bei x) ² 

x² - 8/3 • x  + (4/3)²    = 1 + 16/9

1. binomische Formel anwenden:

(x - 4/3)² = 25/9  | √

| x - 4/3 | = 5/3

x - 4/3 =  ± 5/3   | + 4/3

x₁  = 9/3  = 3

x₂ = -1/3

Gruß Wolfgang

Answer 2

3x²-8x-3= 0

3(x^2 - 8/3 x - 1) = 0

x^2 - 8/3 x + (4/3)^2 - (4/3)^2 - 1 = 0

(x - 4/3)^2 = (4/3)^2 + 1 = 16/9 + 9/9 = 25/9

x - 4/3 = ± 5/3

x1 = 4/3 + 5/3  = 9/3 = 3

x2 = 4/3 - 5/3 = - 1/3 

Nun dein Job:

1. Nachrechnen / korrigieren.

2. Kontrolle in der urspünglichen Gleichung.

3. Freiwillig Trick erfinden, wie man die gegebene Gleichung direkt faktorsieren könnte. 

D.h. von 3x²-8x-3= 0 

auf (3x + 1)(x - 3) = 0 

Kontrolle: Zufällig ist - 9x + x = - 8x 

Comments

@Lu: Glaubst du ernsthaft, es rechnet noch einer nach, wenn wir beide die gleiche Lösung haben :-)

(Es wird keine Anwort erwartet :-))

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Freut mich immer, wenn jemand das gleiche auch schon hat. Kontrolle ist immer besser. 

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Geht mir auch so, war auch nur scherzhaft gemeint!

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Doch doch - Er wird beides nachrechnen, weil er es ja verstehen will. Würde es sich dessen zu bequem sein, würde er wohl kaum die Frage hier stellen.

Ich dank euch beiden sehr für die Anworten (die nich einfach nur von mit abgeschrieben werden) -- Danke :)