tan(1) oder tan (-1) größer?

Question

Liebe Mathefreunde,

ich soll ohne die Hilfe des Taschenrechners bestimmen, ob tan(1) oder tan (-1) größer ist. Einen Graphen habe ich auch schon angefertigt, doch der reicht leider nicht aus.

Das Ganze soll noch schriftlich bewiesen werden.

Comments

Was weißt du denn bis jetzt über die Tangenfunktion? Insbesondere wie habt ihr sie definiert?

Dass tan(-1) < 0 < tan(1) ist lsst sich leicht am Einheitskreis ablesen.

Answer 1

Das Argument im Tangens ist ein Winkel.
Der Winkel wird angegeben in Grad oder im Bogenmaß
tan ( 1 ° ) = 0.01745 > 0
tan ( -1 ° ) = - 0.01745 < 0

tan ( 1 ) > tan ( -1 )
( gilt auch falls Bogenmaß verwendet wird, wie in der Grafik  )

~plot~ tan ( x ) ~plot~

Answer 2

Der Tangens wird auf dem Tangensträger am Einheitskreis abgelesen. (  Die übliche Definition am Einheitskreis ist so. Du musst bei Beweisen aber auf der Definition in euren Unterlagen zurückgreifen )

Vgl. Animation im 2. Bild hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Einheitskreis

Der Tangensträger (Vertikale Linie rechts aussen) ist ins Negative zu verlängern. Es gibt ihn nur auf der rechten Seite des Einheitskreises. Zeiger zu Winkeln zwischen 90° und 270° müssen nach hinten verlängert werden, damit das Vorzeichen stimmt.

Nun zeichnest du die Winkel 1 und - 1 ein und siehst, dass

tan(1) > 0

und

tan(-1) < 0 ist,

unabhängig davon, ob deine 1 und - 1 nun Bogenmass gemessen waren oder in Grad.

Eine Folgerung aus der Definition am Eihneitskreis und dem (2.) Strahlensatz ist übrigens:

tan(A) = sin(A)/cos(A)