Finde eine offene Menge und eine abgeschlossenen Menge

Question

Sei f: ℝ² → ℝ² definiert durch

$$f ( x , y ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } & { ( x , y ) \neq ( 0,0 ) } \\ { 0 } & { ( x , y ) = ( 0,0 ) } \end{array} \right.$$

Finde eine offene Menge U ⊂ ℝ und eine abgeschlossenen Menge F ⊂ ℝ so dass f^-1(U) nicht offen und f^-1(F) nicht abgeschlossen ist.

Comments

Sicher, dass hier \( f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \) gilt und nicht \( f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \)?

Answer 1

es hilft, sich die Funktion vorzustellen, zum Beispiel unter Zuhilfenahme eines 3D-Plotters wie https://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=f708f36bc40c46f8db505d43ca92053b oder https://academo.org/demos/3d-surface-plotter/.

Sei \( U = (-\epsilon, \epsilon) \) für \( \epsilon \in (0, 1) \). Es ist \( (0, 0) \in f^{-1}(U) \), es ist aber \( (0, y) \not\in f^{-1}(U) \) für alle \( y \neq 0 \) oder \( (x, 0) \not\in f^{-1}(U) \) für alle \( x \neq 0 \). Es ist also \( (0, 0) \) ein Randpunkt von \( f^{-1}(U) \) und somit \( f^{-1}(U) \) nicht offen.

Sei \( F = [\epsilon, 1] \) für \( \epsilon \in (0, 1) \). Es ist \( (0, 0) \not\in f^{-1}(F) \), aber \( (x, 0) \in f^{-1}(F) \) für alle \( x \neq 0 \). Es ist also \( (0, 0) \) kein Randpunkt von \( f^{-1}(F) \) und somit \( f^{-1}(F) \) nicht abgeschlossen.

Mister