Welche der Mengen bilden Untervektorräume von R^3?

Question

Wie findet man im allgemeinen raus ob eine menge ein untervektorraum ist?

Aufgabe:

Welche der Mengen
$$ \begin{array}{l} {U:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 2 x-5 y+z(z-1)=0\right\}} \\ {V:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 2 x+3 z+1=0\right\}} \\ {W:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x+2 y+2 z=0\right\}} \end{array} $$
bilden Untervektorräume vom \( \mathbb{R}^{3} ? \) 

Answer 1

Schau mal unter

https://www.mathelounge.de/134198/welche-der-folgenden-mengen-sind-untervektorraume-von-x3-x1

Da ist das schön erklärt. Wende das dann auf deine Aufgabe an. Solltest du tatsächlich nicht weiterkommen, dann schreib mal hin was genau du nicht verstehst.

Comments

aber woher weiß man, ob der Nullvektor zur Menge passt?

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Du setzt x=y=z=0 ein und schaust, ob das

stimmt.

bei u und w stimmt es,

bei v gäbe es 1 = 0 also falsch.

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ahh ok danke, und kannst du mir noch kurz sagen, welche vektoren man zur vektorsumme nehmen soll? also um zu zeigen, dass zb, r,s in U liegen?

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das musst du allgemein machen, also etwa

v = (v1;v2;v3) und w = ( w1;w2;w3)  dann z.B. bei W

wäre zu zeigen  v+w in W,

also prüfen ob  (v1+w1;v2+w2;v3+w3) in W. Einsetzen

(v1+w1) + 2(v2+w2)  + 2(v3+w3) = 0     #

und das stimmt, weil

v1+2v2++v3 = 0     und  w1+2w2+2w3 = 0

und wenn man diese beiden Gleichungenaddiert hat man #